Учебник. Степенная функция

Степенная функция с натуральным показателем   $y\mathrm{,}$  $n\in \mathbb{N}\mathrm{}$   непрерывна на множестве действительных чисел. Если n нечётное, то эта функция строго возрастает и потому обратима. Обратной к ней является функция $y=\sqrt[n]{x}\mathrm{.}$ Степенная функция с четным показателем необратима. Однако если сузить ее область определения до области неотрицательных чисел, то обратной к ней функцией также будет $y=\sqrt[n]{x}\mathrm{,}$   x ≥ 0. На множестве (–∞; 0) функцией, обратной к функции $y\mathrm{,}$   (n – натуральное четное число) будет $y=\mathrm{-}\sqrt[n]{\mathrm{-}x}\mathrm{.}$

Степенная и обратная ей функции

Итак, если x > 0, то при любом натуральном n функция $x^n$ обратима, а обратная к ней функция обозначается как $\sqrt[n]{x}$ или $x^{\frac{1}{n}}\mathrm{.}$ Функция $x^{\mathrm{-}n}=\frac{1}{x^n}$ также определена и непрерывна на множестве положительных чисел.

Пусть $r=\frac{m}{n}\mathrm{,}$   $m\in \mathbb{Z}\mathrm{,}$   $n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$ Тогда степенной функцией с рациональным показателем $x^r$ называют функцию $x^r={\left(\sqrt[n]{x}\right)}^m\mathrm{.}$

Эта функция определена на множестве чисел x > 0 и непрерывна на всей области определения, строго возрастает при r > 0 ($\underset{x\to +\infty }{lim}{x}^r=+\infty$) и строго убывает при r < 0 ($\underset{x\to +\infty }{lim}{x}^r=0$). Перечислим некоторые свойства рациональных степеней.

Степенная функция с вещественным показателем при x > 0 определяется формулой: x^α = e^α ln x (см. определение логарифма). Эта функция непрерывна и строго возрастает (при α > 0) или строго убывает (при α < 0) на всей области определения. Ее областью значений являются все положительные числа.