Учебник. Обратные тригонометрические функции

График функции y = arcsin x.

График функции y = arccos x

Арксинусом x называют такое число $\mathrm{-}\frac{\pi }{2}\le t\le \frac{\pi }{2}$ , что sin t = x. Из определения следует, что $\left|arcsinx\right|\le \frac{\pi }{2}\mathrm{.}$

При помощи арксинуса решение уравнения sin x = t записывается следующим образом: $t=\{\begin{array}{ll}arcsinx+2k\pi \mathrm{, }\hfill & k\in \mathbb{Z}\hfill \\ \pi -arcsinx+2k\pi \mathrm{, }\hfill & k\in \mathbb{Z}\hfill \end{array}$   или t = (–1)ⁿ arcsin x + πn, $n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

Функция y = arcsin x определена и непрерывна на отрезке [–1; 1]. Ее областью значений является отрезок $\left[\mathrm{-}\frac{\pi }{2}\mathrm{; }\frac{\pi }{2}\right]\mathrm{.}$ Она обратна функции y = sin x, рассматриваемой на отрезке $\left[\mathrm{-}\frac{\pi }{2}\mathrm{; }\frac{\pi }{2}\right]$ и поэтому монотонно возрастает. Функция y = arcsin x является нечетной.

Арккосинусом x называют такое число 0 ≤ t ≤ π, что cos t = x. Из определения следует, что $0\le arccosx\le \pi \mathrm{.}$

При помощи арккосинуса решение уравнения cos x = t записывается следующим образом: t = ±arccos x + 2πn,  $n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

Функция y = arccos x определена и непрерывна на отрезке [–1; 1]. Ее областью значений является отрезок [0; π]. Она обратна функции y = cos x, рассматриваемой на отрезке [0; π], и поэтому монотонно убывает на области определения. Функция y = arccos x не является ни четной, ни нечетной.

Арктангенсом x называют такое число $\mathrm{-}\frac{\pi }{2}\le t\le \frac{\pi }{2}$ , что tg t = x. При помощи арктангенса решение уравнения tg x = t записывается следующим образом: t = arctg x + πn,  $n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$ Функция y = arctg x является нечетной.

График функции y = arctg x

График функции y = arcctg x

.

Арккотангенсом x называют такое число 0 ≤ t ≤ π, что ctg t = x. При помощи арккотангенса решение уравнения ctg x = t записывается следующим образом: t = arcctg x + πn,  $n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$ Функция y = arcctg x не является ни четной, ни нечетной.

Функции y = arctg x и y = arcctg x определены и непрерывны на всей числовой оси. Их областями значений являются, соответственно, интервалы $\left(\mathrm{-}\frac{\pi }{2}\mathrm{; }\frac{\pi }{2}\right)$ и (0; π). Арктангенс монотонно возрастает, а арккотангенс монотонно убывает на всей области определения. Функциями, обратными к данным, являются соответственно tg x на $\left(\mathrm{-}\frac{\pi }{2}\mathrm{; }\frac{\pi }{2}\right)$ и ctg x на (0; π).

Простейшие тригонометрические уравнения

Из определения обратных тригонометрических функций следуют некоторые тождества.