Учебник. Тангенс и котангенс

Тангенсом угла x называется отношение синуса этого угла к косинусу этого же угла. Котангенсом угла x называется отношение косинуса этого угла к синусу этого же угла: $tgx=\frac{sinx}{cosx}\mathrm{,}$    $ctgx=\frac{cosx}{sinx}\mathrm{.}$

Поскольку деление на нуль невозможно, эти функции определены не для всех значений аргумента. Тангенс определен для всех $x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n\mathrm{,}$  $n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$ Котангенс определен для всех $x\ne \pi n\mathrm{,}$  $n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$ Обе функции непрерывны на всей области определения и имеют разрывы в точках вида $\frac{\pi }{2}+\pi n$ (тангенс) и $\pi n$ (котангенс).

Тень от солнца

Тангенс и котангенс являются периодическими функциями. Их основной период равен π. Значения этих функций в некоторых точках приведены в таблице.

x	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{2\pi }{3}$	$\frac{3\pi }{4}$	$\frac{5\pi }{6}$
tg x	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	–	$\mathrm{-}\sqrt{3}$	–1	$\mathrm{-}\frac{\sqrt{3}}{3}$
ctg x	–	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	0	$\mathrm{-}\frac{\sqrt{3}}{3}$	–1	$\mathrm{-}\sqrt{3}$

Промежутки монотонности и знакопостоянства:

Функция	0	$\left(0\mathrm{; }\frac{\pi }{2}\right)$	$\frac{\pi }{2}$	$\left(\frac{\pi }{2}\mathrm{; }\pi \right)$
tg x	0	Положителен, возрастает от 0 до +∞	–	Отрицателен, возрастает от –∞ до 0
ctg x	–	Положителен, убывает от +∞ до 0	0	Отрицателен, убывает от 0 до –∞

Функции tg x и ctg x нечетны.

Формулы приведения:

tg (π – x) = –tg x,     ctg (π – x) = –ctg x
$tg\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\text{ctg}x$,    $ctg\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\text{tg}x$

Тождества, связанные с тангенсами и котангенсами:

$tgxċctgx=\mathrm{1, }$ $1+{\mathrm{tg}}^2\mathrm{ x}=\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{ x}}\mathrm{,}\mathrm{ }x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n$ $1+{\mathrm{ctg}}^2\mathrm{ x}=\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{ x}}\mathrm{,}$  $x\ne \pi n$

Некоторые тригонометрические формулы приведены в таблице.

Графики функций y = tg x и y = ctg x.

Поскольку тангенс и котангенс – нечетные функции, достаточно построить их графики на отрезке $\left[0\mathrm{; }\frac{\pi }{2}\right]\mathrm{,}$ отразить симметрично относительно начала координат и периодически продолжить получившийся график на отрезки $\left[\mathrm{-}\frac{\pi }{2}+\pi n\mathrm{; }\frac{\pi }{2}+\pi n\right]\mathrm{.}$