Учебник. Уравнение прямой

График прямой x = 3.

Прямую можно задать различными способами. Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. Любая прямая, не перпендикулярная оси OX, может быть определена этим уравнением. Прямая же, перпендикулярная оси абсцисс, задается уравнением x = x₀. Отметим, что вертикальная прямая не является графиком функции.

Итак, уравнением y = kx + b можно описать не любую прямую. Этого недостатка нет у так называемого общего уравнения прямой a x + b y = c (a² + b² ≠ 0).

Если b = 0, то $x=\frac{c}{a}=x_0$ – получаем уравнение вертикальной прямой. Если же b ≠ 0, то $y=\mathrm{-}\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}\mathrm{.}$ Таким образом, угловой коэффициент прямой в этой системе обозначений задается как $\mathrm{-}\frac{a}{b}\mathrm{.}$

Угловой коэффициент прямой k = arctg α.

Зафиксируем на графике линейной функции точку A (x₀; y₀). Пусть B (x; y) – произвольная точка графика. Из треугольника ABC легко увидеть, что $\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=tg\angle \mathrm{BAC}=k\mathrm{.}$ Уравнение y = y₀ + k (x – x₀) называется уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку.

Зафиксируем теперь на графике линейной функции две точки: A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂). Из треугольника ABC следует, что $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=k\mathrm{.}$ Таким образом, уравнение $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$ задает прямую, проходящую через две заданные точки.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Вернемся теперь снова к общему уравнению прямой a x + b y = c, где a · b · c ≠ 0. Его можно преобразовать к виду $\frac{x}{c/a}+\frac{y}{c/b}=1\mathrm{.}$ Это уравнение пересекает координатные оси в точках (p; 0) и (0; q). $p=\frac{c}{a}\mathrm{,}$   $q=\frac{c}{b}\mathrm{,}$ в чем легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнение прямой. Полученное уравнение называется уравнением прямой в отрезках: $\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1\mathrm{.}$

Способы построения прямой