Учебник. Прямая пропорциональность

Рассмотрим следующую задачу. Мотоцикл движется со скоростью 50 км/ч. Построить график зависимости расстояния, пройденного автомобилем, от времени за первые 6 часов движения.

Поместим сведения о движении мотоцикла в таблицу.

t, час	0	1	2	3	4	5	6
S (t), км	0	50	100	150	200	250	300

График зависимости пути, пройденного мотоциклом, от времени

Построим по этой таблице график функции y = S (t). Точки, описанные в таблице, лежат на одной прямой y = 50 t (км). Если мы хотим узнать путь мотоцикла за 3,5 часа, найдем на оси абсцисс точку t = 3,5, восстановим к этой оси перпендикуляр из данной точки. Он пересечет график функции в точке A. Спроецировав точку A на ось ординат, получим путь, равный 175 км.

В рассмотренной задаче, как и во многих других случаях, встречается ситуация, когда одна величина изменяется пропорционально другой. Так, длина окружности изменяется пропорционально ее радиусу: l = 2πR, площадь прямоугольника с постоянной шириной b пропорциональна длине прямоугольника: S = a · b, путь при равномерном движении пропорционален времени. В таких случаях мы имеем дело с функцией y = k x, называемой прямой пропорциональностью. Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат и не совпадающая с осью OY. Число k называется наклоном или угловым коэффициентом прямой.

Рассмотрим k > 0 и выберем на графике y = kx точку A (1; k). Пусть α – угол, образованный графиком с положительным направлением оси OX (его называют углом наклона прямой). Из прямоугольного треугольника OAB (см. рисунок) имеем, что $tg\alpha =\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OA}}=k\mathrm{.}$

Прямая пропорциональность

Определение угла наклона прямой

Если же k < 0, то график функции y = kx образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол β. Выберем на графике точку A (1; k) Из теоремы о смежных углах следует, что α = 180º – β. Следовательно, $tg\alpha =tg\left(180{}^{ˆ}-\beta \right)=\mathrm{-}tg\beta =\mathrm{-}\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OA}}=\mathrm{-}\left|k\right|=k\mathrm{.}$ Наконец, если k = 0, то угол α также равен нулю. Таким образом доказана следующая теорема.

Тангенс угла наклона прямой относительно оси абсцисс y = kx равен угловому коэффициенту k.