Учебник. Отражение относительно осей и точек

Пусть имеется график функции y = f (x). Чтобы получить график функции, симметричный данному относительно оси OX, нужно умножить значение функции в каждой точке области определения на –1. Алгебраически это задается системой: $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\mathrm{,}\hfill \\ y^{\prime }=\mathrm{-}y\mathrm{.}\hfill \end{array}$

Графики функций y = f (x) и y = –f (x) симметричны относительно оси абсцисс.

Аналогичным образом отражается график относительно оси OY: $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=\mathrm{-}x\mathrm{,}\hfill \\ y^{\prime }=y\mathrm{.}\hfill \end{array}$

Графики функций y = f (x) и y = f (–x) симметричны относительно оси ординат.

Отражение графика относительно начала координат сводится к отражению сначала относительно оси абсцисс, затем относительно оси ординат и задается системой уравнений $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=\mathrm{-}x\mathrm{,}\hfill \\ y^{\prime }=\mathrm{-}y\mathrm{.}\hfill \end{array}$

Симметричными относительно начала координат являются графики функций y = f (x) и y = –f (–x). Более сложным является вопрос о симметрии графиков относительно произвольных вертикальных и горизонтальных осей. Справедливы следующие утверждения.

• Графики функций y = f (x) и y = 2b – f (x) симметричны относительно горизонтальной оси y = b.
• Графики функций y = f (x) и y = f (2a – x) симметричны относительно вертикальной оси x = a.

Системы уравнений, соответствующие этим преобразованиям, выглядят так: $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\mathrm{,}\hfill \\ y^{\prime }=2a-y\mathrm{,}\hfill \end{array}$ и $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=2b-x\mathrm{,}\hfill \\ y^{\prime }=y\mathrm{.}\hfill \end{array}$

Наконец, отражение графика относительно произвольной точки (a, b) задается сначала отражением относительно горизонтальной оси y = b, затем отражением относительно вертикальной оси x = a: $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=2a-x\mathrm{,}\hfill \\ y^{\prime }=2b-y\mathrm{.}\hfill \end{array}$

Графики функций y = f (x) и y = 2b – f (2a – x) симметричны относительно точки (a; b).