Учебник. Предел функции

Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности $\left\{x_n\right\}$ такой, что $x_n$ сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ сходится к числу A.

Предел функции y = x² при x → 2.

Предел функции $y=\frac{x^2}{x}$  при x → 0.

Если A – предел функции в точке a, то пишут, что $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=A\mathrm{.}$

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Предел функции y = {x (x ≠ 0); 1 (x = 0)} при x → 0 равен 0.

Предел функции $y$ в точке a = 0 равен 0: $\underset{x\to 0}{lim}{x}^2=0\mathrm{.}$ Предел функции $y=\frac{x^2}{x}$ в точке a = 0 также равен 0, хотя эта функция не существует в этой точке (ее знаменатель обращается в нуль). Предел функции $y=\{\begin{array}{ll}x\hfill & \text{, если }x\ne 0\mathrm{;}\hfill \\ 1\hfill & \text{, если }x=0\mathrm{.}\hfill \end{array}$ в точке a = 0 равен 0, хотя значение функции в этой точке f (0) = 1.

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех $x\in \left(a-\delta \mathrm{; }a\right)$ выполняется неравенство $\left|f\left(x\right)-A_1\right|\mathrm{.}$  

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех $x\in \left(a\mathrm{; }a+\delta \right)$ выполняется неравенство $\left|f\left(x\right)-A_2\right|\mathrm{.}$  

Предел слева обозначается $\underset{x\to a-0}{lim}f\left(x\right)\mathrm{,}$ предел справа – $\underset{x\to a+0}{lim}f\left(x\right)\mathrm{.}$ Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль: $\underset{x\to +0}{lim}f\left(x\right)$ и $\underset{x\to -0}{lim}f\left(x\right)$. Так, для функции $y=signx=\{\begin{array}{ll}\mathrm{-}\mathrm{1,}\hfill & \text{ если }x<0\mathrm{;}\hfill \\ \mathrm{0,}\hfill & \text{ если }x=0\mathrm{;}\hfill \\ \mathrm{1,}\hfill & \text{ если }x>0\mathrm{.}\hfill \end{array}$ $\underset{x\to 0-0}{lim}f\left(x\right)\equiv \underset{x\to \mathrm{-}0}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{-}1\mathrm{,}$   $\underset{x\to +0}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{+}1\mathrm{.}$

Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел: $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\infty \mathrm{.}$

Так, функция $y=\frac{1}{x^2}$ имеет в точке x = 0 бесконечный предел $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2}=\infty \mathrm{.}$ Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так, $\underset{x\to \mathrm{-}0}{lim}\frac{1}{x}=\mathrm{-}\infty \mathrm{,}$ $\underset{x\to +0}{lim}\frac{1}{x}=\mathrm{+}\infty \mathrm{.}$

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство |f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A: $\underset{x\to \mathrm{+}\infty }{lim}f\left(x\right)=A\mathrm{.}$

Аналогично формулируется определение предела при x, стремящемся к минус бесконечности: $\underset{x\to \mathrm{-}\infty }{lim}f\left(x\right)\mathrm{.}$ В качестве примера приведем функцию $y=\frac{1}{x}\mathrm{,}$ которая стремится на бесконечности к нулю: $\underset{x\to \mathrm{-}\infty }{lim}\frac{1}{x}=\underset{x\to \mathrm{+}\infty }{lim}\frac{1}{x}=0\mathrm{.}$

Наконец, запись $\underset{x\to \mathrm{+}\infty }{lim}f\left(x\right)=\mathrm{+}\infty$ означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство f (x) > ε. Запись $\underset{x\to \mathrm{+}\infty }{lim}f\left(x\right)=\mathrm{-}\infty$ означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство f (x) < –ε. Запись $\underset{x\to \mathrm{-}\infty }{lim}f\left(x\right)=\mathrm{-}\infty$ означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x < –δ выполняется неравенство f (x) < –ε.

Если функция f (x) имеет конечный предел в точке a, то существует окрестность точки a, в которой функция f ограничена ( возможно, что в самой точке a функция не определена). При этом, если A ≠ 0, то найдется окрестность точки a, в которой (быть может, за исключением самой точки a) значения функции f имеют тот же знак, что и число A.

Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, выполняются неравенства g (x) ≤ f (x) ≤ h (x), и если $\underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)=\underset{x\to a}{lim}h\left(x\right)=A$ , то существует $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=A\mathrm{.}$

Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, справедливо неравенство f (x) < g (x), и если $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=A\mathrm{,}$   $\underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)=B\mathrm{,}$ то A ≤ B.

Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=A\mathrm{,}$   $\underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)=B\mathrm{,}$ то

• $\underset{x\to a}{lim}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=A+B$ ,
• $\underset{x\to a}{lim}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=AB\mathrm{,}$
• $\underset{x\to a}{lim}\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)=\frac{A}{B}\mathrm{,}$ если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.

Из существования пределов f (x) в точке a и g (y) в точке f (a) следует существование предела сложной функции g (f (x)) в точке a.

Для вычисления пределов часто используют так называемые замечательные пределы: $\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1\mathrm{.}$
$\underset{x\to \infty }{lim}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e\mathrm{.}$

Для доказательства первого предела используется неравенство $cosx<\frac{sinx}{x}<1$ , верное для $x\in \left(\mathrm{-}\frac{\pi }{2}\mathrm{; }0\right)\cup \left(0\mathrm{; }\frac{\pi }{2}\right)$ (неравенство sin x < x следует из определения синуса при рассмотрении единичной окружности, а для доказательства неравенства x < tg x необходимо нарисовать ось тангенсов). Для доказательства второго предела используются теорема о пределе монотонной функции и монотонная ограниченная последовательность $\left\{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right\}\mathrm{.}$

Другие важные пределы (при a > 0, a ≠ 1): $\underset{x\to 0}{lim}\frac{{log}_a\left(1+x\right)}{x}=\frac{1}{lna}$ $\underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x-1}{x}=lna$ следуют из замечательных пределов и свойства предела обратной функции.

Функция α (x) называется бесконечно малой при x → a (здесь a – конечное число или ∞), если $\underset{x\to a}{lim}\alpha \left(x\right)=0\mathrm{.}$ Функция x = 0 является бесконечно малой функцией в каждой точке. Примерами бесконечно малых (на бесконечности) функций являются зависимость силы тяжести от расстояния до притягивающего центра или зависимость скорости движения по параболической орбите от времени.

• Сумма конечного числа бесконечно малых при x → a функций есть бесконечно малая функция.
• Произведение бесконечно малой при x → a функции на ограниченную в некоторой окрестности точки a функцию есть бесконечно малая при x → a функция.

Если в некоторой окрестности a определены функции f (x), g (x), h (x) такие, что f (x) = g (x) h (x), $\underset{x\to a}{lim}h\left(x\right)=1$ , то функции f (x) и g (x) называются эквивалентными при x → a: f (x) ~ g (x).

Так, функции $y_1$  и $y_2$ эквивалентны при x → 0, так как $y_2=x\frac{sinx}{x}\mathrm{,}$ а второй множитель стремится к 1 при x → 0. Другие примеры эквивалентных функций при x → 0:

sin x ~ x

tg x ~ x

arcsin x ~ x

arctg x ~ x

e^x – 1 ~ x

ln (1 + x) ~ x

(1 + x)^α – 1 ~ α x.

При вычислении пределов функций можно использовать понятие эквивалентности.