Учебник. Монотонность функций

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) < f (x₂).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) > f (x₂).

Промежутки возрастания и убывания функции

На показанном на рисунке графике функция y = f (x), $x\in \left[a\mathrm{; }b\right]\mathrm{,}$ возрастает на каждом из промежутков [a; x₁) и (x₂; b] и убывает на промежутке (x₁; x₂). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [a; x₁) и (x₂; b], но не на объединении промежутков $\left[a\mathrm{; }{x}_1\right)\cup \left(x_2\mathrm{; }b\right]\mathrm{.}$

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x₁ < x₂ – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x₁) = f (x₂) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

• Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
• Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
• Если функция f возрастает, то функции cf  (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
• Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.
• Если функция f возрастает и неотрицательна, то $f^n\mathrm{,}$  где $n\in \mathbb{N}$ , также возрастает.
• Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f ⁿ также возрастает.
• Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Свойства функции

Точка a называется точкой максимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≥ f (x).

Точка a называется точкой минимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума.

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого $x\in D$   (x ≠ a) выполняется неравенство f (x) ≤ f (a) $\mathrm{(}\mathrm{),}$  то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D: $\underset{x\in D}{max}f\left(x\right)=f\left(a\right)\mathrm{.}$

Если для любого $x\in D$   (x ≠ b) выполняется неравенство f (x) > f (b)  $\mathrm{(}b\in D\mathrm{),}$  то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D. $\underset{x\in D}{min}f\left(x\right)=f\left(b\right)\mathrm{.}$

Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

Функция, ограниченная сверху

Функция, ограниченная снизу

Функция, ограниченная на множестве D

Если существует число C такое, что для любого $x\in D$ выполняется неравенство f (x) ≤ C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D.

Если существует число c такое, что для любого $x\in D$ выполняется неравенство f (x) ≥ c, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D.

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f (x), $x\in D\mathrm{,}$ лежит в полосе c ≤ y ≤ C.

Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.

Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y = x². Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y = 1/x. Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x.