Учебник. Четность функций

Функция f (x) называется четной, если для любого $x\in D$ выполняются равенства:
1) $\mathrm{-}x\in D$ ,
2) f (–x) = f (x).

График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY. Примерами четных функций могут служить y = cos x, y = |x|, y = x² + |x|.

Функция f (x) называется нечетной, если для любого $x\in D$ выполняются равенства:
1) $\mathrm{-}x\in D$ ,
2) f (–x) = –f (x).

Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются y = sin x, y = x³.

Не следует думать, что любая функция является либо четной, либо нечетной. Так, функция $y=\sqrt{x+1}$ не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения $D=\left[\mathrm{-}1\mathrm{; }\infty \right)$ несимметрична относительно начала координат. Область определения функции y = x³ + 1 охватывает всю числовую ось и поэтому симметрична относительно начала координат, однако f (–1) ≠ f (1).

Если область определения функции симметрична относительно начала координат, то эту функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Таковой суммой является функция $f\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)+f\left(\mathrm{-}x\right)}{2}+\frac{f\left(x\right)-f\left(\mathrm{-}x\right)}{2}\mathrm{.}$ Первое слагаемое является четной функцией, второе – нечетной.

Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями.

• Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.
• Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
• Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.
• Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна).