Учебник. Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность {b_n}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называют геометрической прогрессией:

Важно отметить, что число q, которое называется знаменателем прогрессии, отлично от нуля. Так как $b_{n-1}\mathrm{,}$   то $b_{n+1}{b}_{n-1}=b_n^2\mathrm{.}$  Верна и обратная теорема.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии {b_n} равна $S_n=\frac{b_1\left(q^n-1\right)}{q-1}$ при q ≠ 1 и S_n = n · b₁ при q = 1.

Эти формулы также доказываются методом математической индукции. Докажите их самостоятельно.

При |q| < 1 $\underset{n\to \infty }{lim}{b}^n=0$, поэтому в этом случае геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число $S=\underset{n\to \infty }{lim}{S}_n$, где S_n – сумма n первых членов геометрической прогрессии.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равна $S=\frac{b_1}{1-q}\mathrm{.}$

Для доказательства достаточно заметить, что $S=\underset{n\to \infty }{lim}{S}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\left(b_1\frac{q^n-1}{q-1}\right)=\frac{b_1}{q-1}\left(\underset{n\to \infty }{lim}{q}^n-1\right)=\frac{b_1}{1-q}\mathrm{.}$ В предпоследнем переходе использовались свойства пределов последовательностей.