Учебник. Георг Риман

Риман (Riemann) Георг Фридрих Бернхард (17.9.1826, Брезеленц, Нижняя Саксония, – 20.7.1866, Селаска, близ Интры, Италия), немецкий математик. В 1846 поступил в Гёттингенский университет: слушал лекции К. Гаусса, многие идеи которого были им развиты позже. В 1847–49 слушал лекции в Берлинском университете; в 1849 вернулся в Гёттинген, где сблизился с сотрудником Гаусса физиком В. Вебером, который пробудил в нём глубокий интерес к вопросам математического естествознания.

В 1851 защитил докторскую диссертацию «Основы общей теории функций одной комплексной переменной». С 1854 приват-доцент, с 1857 профессор Гёттингенского университета.

Работы Римана оказали большое влияние на развитие математики 2-й половины XIX в. и в XX в. В докторской диссертации Риман положил начало геометрическому направлению теории аналитических функций; им введены так называемые римановы поверхности, важные при исследованиях многозначных функций, разработана теория конформных отображений и даны в связи с этим основные идеи топологии, изучены условия существования аналитических функций внутри областей различного вида (так называемый принцип Дирихле) и т.д. Разработанные Риманом методы получили широкое применение в его дальнейших трудах по теории алгебраических функций и интегралов, по аналитической теории дифференциальных уравнений (в частности, уравнений, определяющих гипергеометрические функции), по аналитической теории чисел (например, Риманом указана связь распределения простых чисел со свойствами ζ-функции, в частности с распределением её нулей в комплексной области – так называемая гипотеза Римана, справедливость которой ещё не доказана) и т.д.

В ряде работ Риман исследовал разложимость функций в тригонометрические ряды и в связи с этим определил необходимые и достаточные условия интегрируемости в смысле Римана, что имело значение для теории множеств и функций действительного переменного. Риман также предложил методы интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными (например, с помощью так называемых инвариантов Римана и функции Римана).

В знаменитой лекции 1854 «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1867) Риман дал общую идею математического пространства (по его словам, «многообразия»), включая функциональные и топологические пространства. Он рассматривал здесь геометрию в широком смысле как учение о непрерывных n-мерных многообразиях, т. е. совокупностях любых однородных объектов и, обобщая результаты Гаусса по внутренней геометрии поверхности, дал общее понятие линейного элемента (дифференциала расстояния между точками многообразия), определив тем самым то, что называется финслеровыми пространствами. Более подробно Риман рассмотрел так называемые римановы пространства, обобщающие пространства геометрий Евклида, Лобачевского и эллиптической геометрии Римана, характеризующиеся специальным видом линейного элемента, и развил учение об их кривизне. Обсуждая применение своих идей к физическому пространству, Риман поставил вопрос о «причинах метрических свойств» его, как бы предваряя то, что было сделано в общей теории относительности.

Предложенные Риманом идеи и методы раскрыли новые пути в развитии математики и нашли применение в механике и общей теории относительности. Ученый умер в 1866 от туберкулёза.