Учебник. Давид Гильберт

Гильберт, Хильберт (Hilbert) Давид (23.1.1862, Велау, близ Кёнигсберга, – 14.2.1943, Гёттинген), немецкий математик. Окончил Кёнигсбергский университет, в 1893–95 профессор там же, в 1895–1930 профессор Гёттингенского университета, до 1933 продолжал читать лекции в университете, после прихода гитлеровцев к власти в Германии (1933) жил в Гёттингене в стороне от университетских дел. Исследования Гильберта оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, а его деятельность в Гёттингенском университете в значительной мере содействовала тому, что Гёттинген в первой трети XX века являлся одним из основных мировых центров математической мысли.

Научная биография Гильберта резко распадается на периоды, посвященные работе в какой-либо одной области математики: теории инвариантов (1885–93), теории алгебраических чисел (1893–98), основаниям геометрии (1898–1902), принципу Дирихле и примыкающим к нему проблемам вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900–06), теории интегральных уравнений (1900–10), решению проблемы Варинга в теории чисел (1908–09), основам математической физики (1910–22), логической основы математики (1922–39).

В теории инвариантов исследования Гильберта явились завершением периода бурного развития этой области математики во второй половине XIX в. Им доказана основная теорема о существовании конечного базиса системы инвариантов. Работы Гильберта по теории алгебраических чисел преобразовали эту область математики и стали исходным пунктом её последующего развития. Данное Гильбертом решение проблемы Дирихле положило начало разработке т. н. прямых методов в вариационном исчислении. Построенная ученым теория интегральных уравнений с симметричным ядром составила одну из основ современного функционального анализа (т. н. гильбертово пространство) и особенно спектральной теории линейных операторов. Основания геометрии Гильберта (1899) стали образцом для дальнейших работ по аксиоматическому построению геометрии.

К 1922 у Гильберта сложился значительно более обширный план обоснования всей математики путём её полной формализации с последующим «метаматематическим» доказательством непротиворечивости формализованной математики. Два тома «Оснований математики», написанных им совместно с П. Бернайсом, в которых эта концепция подробно развивается, вышли в 1934 и 1939. Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий оказалась глубже и труднее, чем он предполагал сначала. Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в большой мере идёт по путям, намеченным Гильбертом, и пользуется созданными им концепциями.

Считая с логической точки зрения необходимой полную формализацию математики, Гильберт в то же время верил в силу творческой математической интуиции. Он был большим мастером в высшей степени наглядного изложения математических теорий. В этом отношении замечательна «Наглядная геометрия», написанная им совместно с С. Кон-Фоссеном. Для творчества Гильберта характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки и единстве математики и естествознания. Собрание сочинений Гильбертом (1932–35) кончается статьей «Познание природы», а эта статья лозунгом «Мы должны знать – мы будем знать».