Учебник. Бернард Больцано

Больцано (Bolzano) Бернард (5.10.1781, Прага, – 18.12.1848, там же), чешский математик, философ, теолог. Окончил философский (1800) и теологический (1805) факультеты Пражского университета; занимал (1805–20) кафедру истории религии в том же университете; за вольнодумство был уволен (1820) и лишён права публичных выступлений, после чего работал в основном в области логики и математики. Главное логическое сочинение Больцано «Наукоучение» (1837) – обширный историко-критический обзор традиционных логических учений с оригинальным изложением логики.

Много работая над логическими основами математического анализа, Больцано первый (1817) выдвинул идею арифметической теории действительного числа. В его сочинениях (опубликованных при жизни и входящих в его рукописное наследство) можно найти ряд фундаментальных понятий и теорем анализа, обычно связываемых с более поздними исследованиями других математиков. В «Парадоксах бесконечного» (1851) Больцано явился предшественником Г. Кантора в исследовании бесконечных множеств. Отправляясь от идеи Г. Лейбница, Больцано отстаивал объективность актуально бесконечного. При этом он различал два рода существования объективного: существование реальное – «непосредственно данное», и нереальное, но возможное – существование «в себе». Возможность нереального объективного существования не зависит от субъективного знания и создаётся не мышлением, а «чистыми понятиями», которые играют роль определяющего начала и для всего реального, и для всего объективно возможного. Поскольку истины, вытекающие из чистых понятий, объективно возможны, объективно возможно и существование бесконечных множеств «по крайней мере среди вещей не реальных». Например, существует бесконечное множество «всех истин в себе». В целом для философии Больцано характерно сочетание диалектического атомизма (простые субстанции непрерывно изменяются взаимодействуя) и платонизма (учение об «истинах в себе», о «чистых понятиях» и пр.), в котором идеи древних авторов трансформированы в соответствии с научной практикой «нового времени».