Учебник. Введение

Алгебра − часть математики, принадлежащая, наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших разделов этой науки. Алгебра изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями. В отличие от арифметики, эти величины обозначаются буквами, а не цифрами. В этом смысле уровень абстракции в алгебре выше, чем в арифметике, так как, по сути, в алгебре формируются обозначения, позволяющие записать свойства действий над числами в краткой форме, удобной для построения исчисления над буквенными выражениями.

Таким образом, алгебра отделилась от арифметики: алгебра, пользуясь буквенными обозначениями, изучает общие свойства числовых систем и общие методы решения задач при помощи уравнений; арифметика занимается приёмами вычислений с конкретными числами. В этом смысле алгебра является обобщением арифметики и потому описывает реальные факты на абстрактном универсальном языке.

Выработка абстрактных алгебраических понятий явилась результатом длительного исторического процесса накопления алгебраических фактов. Первоначальное установление законов алгебры происходило экспериментальным путём на огромном числе частных примеров. Правила, полученные в этих частных случаях, обобщались на другие случаи. Так, например, поступали древние египтяне и вавилоняне, которым удалось разработать множество частных подходов к решению некоторых уравнений, в числе которых были даже уравнения третьей степени.

В средние века алгебра развивалась как наука о решении уравнений, особенно в трудах восточных математиков. Да и само название «алгебра» пошло от названия трактата IX века узбекского математика и астронома Мухаммеда аль-Хорезми «Китаб аль-джебр валь-мукабала», где он дал общие правила для решения уравнений первой степени. Слово «аль-джебр» (восстановление), от которого алгебра получила своё название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной его части в другую с изменением знака.

Первым математическим достижением после открытий древних греков стало получение общей формулы для решения кубического уравнения. После этого вскоре была получена общая формула для решения уравнения четвертой степени, и наука алгебра стала активно развиваться. Ключевым был вопрос о разрешимости любого уравнения. На этом пути, в частности, возникло понятие комплексного числа. В начале XIX века вопрос о разрешимости произвольных уравнений был решён отрицательно, а именно, оказалось, что уравнения степени выше четвёртой в общем случае не имеют решений, выражающихся явно через коэффициенты уравнения. Значимость этого доказательства, принадлежащего великому норвежскому математику Н. Х. Абелю настолько высока, что оно позволило алгебре развиваться сразу в нескольких направлениях.

Сейчас алгебра как наука значительно расширилась и усложнилась. Однако элементарная алгебра по-прежнему, как и во времена древних египтян, является наилучшим тренажёром для развития мышления. Надеемся, этот курс поможет вам в этом. Наверняка вы уже знакомы со структурой курсов компании «Физикон», однако в этом курсе в отличие от других задачи с решениями помещены непосредственно в тексте теории.

Желаем успехов в её изучении!