Открытая Математика. Алгебра. Погрешность измерения величин

Погрешность измерения величин

Пусть x – приближённое значение некоторой величины (например, полученное путём однократного измерения этой величины), а x₀ – её точное значение.

Абсолютной погрешностью величины называется разность Δx = |x – x₀|.

В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, а при округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4.

Определите абсолютную погрешность измерения длины точной миллиметровой линейкой.

Если деления на линейке нанесены достаточно точно, то систематические ошибки при измерении близки к нулю. В качестве значения измеряемой длины предмета можно взять значение l ближайшей метки линейки.

В том случае, если экспериментатор выполнил измерение аккуратно, истинная длина предмета l₀ может отличаться от измеренной длины l не более чем на половину деления шкалы, то есть 0,5 мм. Можно записать, что l₀ = l ± 0,5 мм. Таким образом, абсолютная погрешность в этом случае составляет 0,5 мм.

Ответ. 0,5 мм.

Вообще, если систематические ошибки, возникающие при измерении каким-либо прибором, значительно меньше, чем деления шкалы этого прибора, то в качестве абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления.

Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу: $ε (x) = \frac{Δ x}{x_{0}} .$

В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, относительная погрешность равна $\frac{54}{1254} \approx 0,043,$ или 4,3 %. При округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4, а относительная погрешность $\frac{4}{1254} \approx 0,003,$ или 0,3 %.

В научных экспериментах многие величины определяются не непосредственно, а косвенным путём – измерением значений других величин. Так, чтобы найти плотность тела, ученые измеряют его массу, взвешивая на весах, после чего определяют объём тела, погружая его в жидкость. Плотность $ρ = \frac{m}{V}$ выражается через массу и объём тела. Масса и объём, входящие в эту формулу, измеряются с некоторой погрешностью; это означает, что и плотность будет вычислена по формуле с некоторой погрешностью.

Выведем несколько правил, позволяющих рассчитывать погрешности величин.

Абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых: Δ(x + y) = Δx + Δy.

Пусть x = x₀ ± Δx, y = y₀ ± Δy.

Тогда x + y = y₀ + x₀ ± Δx ± Δy = (y₀ + x₀) ± (Δx + Δy).

(x + y) – (x₀ + y₀) = ±(Δx + Δy), откуда

Δ(x + y) = Δx + Δy.

Отметим, что в отдельных измерениях может случиться, что ошибки в измерении величин x и y скомпенсируют друг друга, и величина x + y будет измерена точно. Однако в других случаях эти ошибки усилят друг друга; при оценке же погрешностей измерения нужно рассматривать самый худший из вариантов.

Аналогично можно показать, что то же самое верно для разности двух погрешностей.

Абсолютная погрешность разности двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого: Δ(x – y) = Δx + Δy.

Вычислите сумму и разность приближённых чисел 0,123 и 0,526.

Сложение даёт 0,649. Абсолютная погрешность каждого слагаемого равна 0,0005, значит, абсолютная погрешность суммы 2 ċ 0,0005 = 0,001. Следовательно, в найденной сумме возможна ошибка на 1 единицу в третьем знаке после запятой. Вычитание данных чисел даёт: 0,123 – 0,526 = –0,403. Абсолютная погрешность разности также равна 0,001.

Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя. Рассмотрим поучительный пример.

Измерения цилиндрической полой изнутри трубы показали, что ее внешний радиус равен 100 см, а внутренний радиус – 95 см. Чему равна толщина стенок трубы?

Если R₁ = 100 см, R₂ = 98 см, то h = 2 см. Абсолютные погрешности при определении радиусов одинаковы и равны Δ (R₁) = Δ (R₂) = 0,5 см (если в условии задачи не уточнено, то абсолютная погрешность измерения принимается равной половине последнего знака величины). Абсолютная погрешность расчёта толщины стенки определяется формулой Δ (h) = Δ (R₁) + Δ (R₂) = 1 см.

Рассчитаем теперь относительные погрешности всех трёх величин: $ε (R_{1}) = \frac{0,5}{100} = 0,005,$ $ε (R_{2}) = \frac{0,5}{95} \approx 0,0053,$ $ε (h) = \frac{Δ (h)}{h} = \frac{1}{2} = 0,5 ≫ ε (R_{1}) .$ Если оба радиуса были измерены с погрешностью порядка 0,5 %, то погрешность при вычислении их разности – толщины стенок трубы – возросла в 100 раз и составила 50 %!

Относительная погрешность произведения приближённо равна сумме относительных погрешностей отдельных сомножителей: $ε (x y) \approx ε (x) + ε (y) .$

Пусть x = x₀ ± Δx, y = y₀ ± Δy. Тогда x ċ y = (x₀ ± Δx)(y₀ ± Δy) = y₀ ċ x₀ ± y₀Δx ± x₀Δy ± ΔxΔy.

Последним членом можно пренебречь, так как $Δ x ċ Δ y ≪ y_{0} Δ x$ и $Δ x ċ Δ y ≪ x_{0} Δ y .$ Тогда

x ċ y = y₀ ċ x₀ ± y₀Δx ± x₀Δy,

x ċ y – y₀ ċ x₀ = ±y₀Δx ± x₀Δy,

Δ(x ċ y) = y₀Δx + x₀Δy.

$ε (x y) = \frac{y_{0} Δ x + x_{0} Δ y}{x_{0} y_{0}} = \frac{Δ x}{x_{0}} + \frac{Δ y}{y_{0}} = ε (x) + ε (y).$

Можно расширить это правило, расписав его для произведения n сомножителей.

Относительная погрешность n-й степени приближённого числа примерно в |n| раз больше относительной погрешности исходного числа: $ε (x^{n}) \approx | n | ċ ε (x) .$

Расчёты показывают, что это соотношение верно не только для натуральных, но и для любых вещественных степеней n.

В частности, $ε (\frac{x}{y}) \approx ε (x) + ε (y) .$

Вычислите относительную погрешность произведения 0,123 и 0,526, если относительные погрешности этих чисел соответственно равны 2 % и 4 %.

Относительная погрешность произведения 0,123 ċ 0,526 = 0,064698 приближённо равна 4 % + 2 % = 6 %.

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Погрешность измерения величин

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ