Открытая Математика. Алгебра. Математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание и дисперсия

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?

Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию M_x. В данном случае M_x = 3,5.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях $n_{1}$ раз выпало 1 очко, $n_{2}$ раз – 2 очка и так далее. Тогда $\bar{x} = \frac{n_{1} ċ 1 + n_{2} ċ 2 + ... + n_{6} ċ 6}{N} .$ При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко, $n_{1} = N ċ p (x = 1) = N / 6.$ Аналогично, $n_{2} = ... = n_{6} = n_{1} = N / 6 .$ Отсюда $\bar{x} \to M_{x} = \frac{1 + 2 + ... + 6}{6} = 3,5 .$

Игральные кости

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x, то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x₁, x₂, ..., x_k с вероятностями p₁, p₂, ..., p_k.

Математическое ожидание M_x случайной величины x равно $M_{x} = \sum_{i = 1}^{k} p_{i} x_{i} .$

Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как <x>. Записи <x> и M_x эквивалентны.

Найти математическое ожидание числа очков, которые выбьет первый стрелок в предыдущем примере.

Закон распределения рассматриваемой случайной величины может быть задан следующей таблицей:

1	2	3
0	0,2	0,8

Значит, $\bar{x} = 1 ċ 0 + 2 ċ 0,2 + 3 ċ 0,8 = 2,8 .$

Ответ. 2,8.

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.

Медианой случайной величины называют число x_1/2 такое, что p (x < x_1/2) = 1/2.

Другими словами, вероятность p₁ того, что случайная величина x окажется меньшей x_1/2, и вероятность p₂ того, что случайная величина x окажется большей x_1/2, одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений.

Вернёмся к случайной величине x, которая может принимать значения x₁, x₂, ..., x_k с вероятностями p₁, p₂, ..., p_k.

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $D_{x} = \bar{{(x - M_{x})}^{2}} .$

Используя вероятности p_i того, что величина x принимает значения x_i, эту формулу можно переписать следующим образом:

D_{x} = \sum_{i = 1}^{k} p_{i} {(x_{i} - M_{x})}^{2} .

Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины: $σ = \sqrt{D_{x}} .$

В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины x.

Имеем: D_x = 0 ċ (1 – 2,8)² + 0,2 ċ (2 – 2,8)² + 0,8 ċ (3 – 2,8)² = 0,16. $σ = \sqrt{D_{x}} = \sqrt{0,16} = 0,4.$

Ответ. 0,16, 0,4.

Стрельба в мишень

Найти распределение вероятности числа очков, выпавших на кубике с первого броска, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Выпадение любой грани равновероятно, так что распределение будет выглядеть так:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Математическое ожидание M_x = 3,5 (см. пример в начале параграфа).

С вероятностью 1/2 случайная величина x ≤ 3. С такой же вероятностью x ≥ 4. Таким образом, медианой случайной величины является любое число из интервала (3; 4). Обычно в качестве медианы указывают среднее значение из этого интервала: x_1/2 = 3,5. В нашем случае медиана совпала с математическим ожиданием, в других распределениях это не так.

Дисперсия: $D_{x} = \frac{1}{6} ({(1 - 3,5)}^{2} + {(2 - 3,5)}^{2} + {(3 - 3,5)}^{2} + {(4 - 3,5)}^{2} + {(5 - 3,5)}^{2} + {(6 - 3,5)}^{2}) = \frac{35}{12} \approx 2,9.$

Среднеквадратичное отклонение $σ = D_{x} = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1,7 .$ Видно, что отклонение величины от среднего значения очень велико.

Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M_{x + y} = M_x + M_y.
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M_x ċ y = M_x ċ M_y.

Найти математическое ожидание суммы и произведения очков, выпавшей на двух кубиках.

В примере 3 мы нашли, что для одного кубика M (x) = 3,5. Значит, для двух кубиков M_{x + y} = M_x + M_y = 7, M_xy = M_x ċ M_y = 3,5² = 12,25.

Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме дисперсий: D_{x + y} = D_x + D_y.

Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков, выпавших при бросании кубика N раз.

Случайный процесс можно представить как сумму единичных бросков. Для единичного броска M_x = 3,5, D_x = 2,9,

Пусть за N бросков на кубике выпало y очков. Тогда M_y = 3,5 N,
$D_{y} \approx 2,9 N,$
$σ_{y} \approx 1,7 \sqrt{N} .$

Если z – среднее количество очков, выпавших на кубике за N бросков: $z = \frac{y}{N},$ то: $M_{z} = \frac{M_{y}}{N} = 3,5,$
$σ_{z} = \frac{σ_{y}}{N} \approx \frac{1,7}{\sqrt{N}} .$

Этот результат верен не только для бросков кубика. Он во многих случаях определяет точность измерения математического ожидания опытным путем. Видно, что при увеличении количества измерений N разброс значений вокруг среднего, то есть среднеквадратичное отклонение, уменьшается пропорционально $\frac{1}{\sqrt{N}} .$

Дисперсия случайной величины связана с математическим ожиданием квадрата этой случайной величины следующим соотношением: $D_{x} = σ^{2} = M_{x^{2}} - {(M_{x})}^{2} .$

Действительно, ${(x - M_{x})}^{2} = x^{2} - 2 x M_{x} + {(M_{x})}^{2} .$

Найдём математические ожидания обеих частей этого равенства. По определению, $M_{{(x - M_{x})}^{2}} = D_{x} .$ Математическое же ожидание правой части равенства по свойству математических ожиданий равно $M_{x^{2}} - 2 M_{x} M_{x} + {(M_{x})}^{2} = M_{x^{2}} - {(M_{x})}^{2} .$

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Математическое ожидание и дисперсия

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ