Учебник. Предмет теории вероятностей
В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки. Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? Пуанкаре, призывая разграничить случайность, связанную с неустойчивостью, от случайности, связанной с нашим незнанием, приводил следующий вопрос: «Почему люди находят совершенно естественным молиться о дожде, в то время как они сочли бы смешным просить в молитве о затмении?»
В дальнейшем мы не будем касаться природы понятия случайности, но при каждом конкретном применении теории вероятностей и статистики нужно сначала внимательно проанализировать суть происходящих явлений.
Попробуем ознакомиться с основными закономерностями случайных процессов.
Для начала, возьмем в руки монетку, будем ее бросать и записывать результат последовательно в виде строки: О, Р, Р, О, О, Р. Здесь буквами О и Р обозначено выпадение орла или решки. В нашем случае бросание монетки – это испытание, а выпадение орла или решки – событие, то есть возможный исход нашего испытания.
Пусть мы провели испытание N раз, R раз выпала решка, O = N – R раз выпал орел.
Предположим, что при большом числе испытаний N отношение стремится к некоторой постоянной величине. Назовём её вероятностью p наступления события.
Если существует идеализированный процесс, который можно представить в виде испытаний, и частота случайного события приближается к пределу
Часто вероятность, которая в нашем определении заключена в интервале 0 ≤ p ≤ 1, выражают в процентах, умножая число p на 100 %.
Иногда вероятность события можно предсказать из соображений симметрии. Например, при бросании «идеального» игрального кубика выпадение любой грани равновозможно (равновероятно). Всего граней 6, значит, вероятность выпадения i-й грани p (Ai) = p (A1) = p (A2) = p (A3) = p (A4) = p (A5) = p (A6) = 1/6.
Если мы имеем дело с измеримыми случайными величинами, например, измеряем в течение нескольких лет количество снега, выпавшего за день, то понятие вероятности тоже можно ввести. Для этого запишем результаты измерения в таблицу с точностью, например, в сантиметр и подсчитаем относительную частоту появления того или иного значения. Например, вероятность того, что выпадет 3 см снега, – где N (3) – количество дней, в каждый из которых выпало 3 см, N – общее количество дней, в которые проводились измерения.
Для того чтобы найти вероятность события A, происходящего в серии испытаний, нужно:
- найти число N всех возможных исходов (элементарных событий);
- принять предположение о равновероятности этих исходов;
- найти количество N (A) тех исходов, в которых наступает событие A;
- найти частное оно и будет равно вероятности p (A) наступления события A.
В этой очевидной инструкции есть очень важный пункт о равновероятности исходов. Проиллюстрируем его на примерах.
С какой вероятностью монета, брошенная дважды, по крайней мере один раз выпадет гербом?
Можно рассуждать так: есть только три возможных исхода (герб–герб, герб–решка, решка–решка), поэтому вероятность равна 2/3. Это неверно, так как исход герб–решка встречается в два раза чаще (действительно, первая монета может выпасть гербом, а вторая – решкой, и наоборот). Равновероятных исходов в данном случае четыре: герб–герб, герб–решка, решка–решка, решка–герб. Событию «хотя бы один раз выпал герб» удовлетворяют три исхода из четырех: герб–герб, герб–решка, решка–герб. Соответственно, искомая вероятность равна 3/4.
Юноша ездит в гости к двум девушкам на двух разных электричках. Выбор места, куда он поедет сегодня, осуществляется очень просто – он приходит на вокзал и садится на ту электричку, которая придёт первой. Обе электрички ходят с равными интервалами – один раз в час, но в гостях у первой девушки юноша оказывается в пяти случаях из шести, а у второй – в одном случае. Почему?
В этой задаче вероятности прихода электричек на платформу одинаковы, но шансы юноши сесть на первую или вторую электричку различны. Первая электричка может приходить на платформу в 17:00, 18:00, 19:00 и так далее, а вторая электричка – в 17:10, 18:10, 19:10. Разобьём часовой интервал на 6 десятиминутных отрезков. Если юноша приходит на платформу в первый отрезок – между 17:00 и 17:10 (18:00 и 18:10, 19:00 и 19:10), то он попадает на вторую электричку. Если же юноша придёт на платформу в любой из оставшихся пяти временных отрезков (между 17:10 и 18:00, 18:10 и 19:00, 19:10 и 20:00), то он попадёт на первую электричку.
Шансы прийти на платформу в каждый из десятиминутных промежутков у юноши одинаковы и равны 1/6. Значит, с вероятностью 1/6 юноша уезжает на второй электричке, на первую же он попадает с вероятностью 5/6. Было бы совсем неверно считать эти события равновероятными.
Как известно, в результате броуновского движения частицы взвешенного вещества хаотически движутся. Поэтому в некотором выделенном объёме может оказаться одна, две, три частицы, а может не оказаться ни одной. Шведский учёный Сведберг провёл 518 экспериментов над частицами золота, взвешенными в воде. Было найдено, что в выделенной области пространства 112 раз не наблюдалось ни одной частицы, 1 частица наблюдалась 168 раз, 2 частицы − 130 раз, 3 частицы − 69 раз, 4 частицы − 32 раза, 5 частиц − 5 раз, 6 частиц − 1 раз, 7 частиц − 1 раз. Какова вероятность встретить то или иное количество частиц в выделенном объёме пространства?
- Частота 0 частиц равна
- Частота 1 наблюдавшейся частицы равна
- Частота 2 наблюдавшихся частиц равна
- Частота 3 наблюдавшихся частиц равна
- Частота 4 наблюдавшихся частиц равна
- Частота 5 наблюдавшихся частиц равна
- Частота 6 наблюдавшихся частиц равна
- Частота 7 наблюдавшихся частиц равна
Результаты этих наблюдений, как оказалось, хорошо совпадают с теоретическими предсказаниями молекулярно-кинетической теории.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".