Открытая Математика. Алгебра. Операции над множествами

Операции над множествами

Рассмотрим некоторое множество E, которое будем называть основным, и не будем интересоваться его природой. Будем считать, что все множества, которые рассматриваются в данном пункте, являются подмножествами основного множества.

Объединением двух множеств A и B называется множество A ∪ B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.

Аналогично определяется пересечение и объединение любого числа множеств.

Для удобства множества изображают в виде кругов, а основное множество в виде прямоугольника, их содержащего. Такие рисунки называются диаграммами Эйлера–Венна.

Множества на плоскости

Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти $A \cup B$ и $A \cap B .$

$A \cup B$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 17, 19}, $A \cap B$ = {1, 3, 5, 7, 9}.

Пусть A = [−2; 1] и B = (0; 3). Найти $A \cup B$ и $A \cap B .$

$A \cup B$ = [−2; 3), $A \cap B$ = (0; 1].

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами.

$A \cup B = B \cup A$
$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
$\begin{array}{l} A \cup A = A \end{array}$
$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$
$A \cap B = B \cap A$
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
$A \cap A = A$
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Если $B \subset A,$ то $A \cup B = A,$ $A \cap B = B .$

Например, $A \cup \emptyset = A,$ $A \cap \emptyset = \emptyset .$ $A \cup E = E,$ $A \cap E = A .$

Следует заметить, что мощность объединения и пересечения двух конечных множеств связаны следующим соотношением: $| A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B |$ (здесь мощность множества A обозначена как |A|).

Для бесконечных множеств это равенство неверно. Если хотя бы одно из множеств A и B бесконечно, то мощность объединения $| A \cup B | = max (| A |, | B |) .$

Пусть теперь A и B − некоторые множества в основном множестве E.

Разностью множеств A и B называется множество A \ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Разность между основным множеством E и множеством A называется дополнением множества A в E и обозначается $\bar{A} .$

Кратко это можно записать так: $\bar{A} = {x \in E : x \notin A}, A \\ B = {x \in E : x \in A, x \notin B} .$

Очевидно, что $A \cap \bar{A} = \emptyset,$ $A \cup \bar{A} = E,$ $\bar{(\bar{A})} = A$ для любого $A \subset E .$

Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти A \ B и B \ A.

A \ B = {2, 4, 6, 8}.

B \ A = {11, 13, 17, 19}.

Для любых двух множеств A и B основного множества E справедливы законы де Моргана.

$\bar{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} .$
$\bar{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} .$

Законы де Моргана можно проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера–Венна.

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Операции над множествами

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ