Учебник. Сравнение и отображение множеств

Мощностью конечного множества (множества, содержащего конечное число элементов) называется количество его элементов. Мощность множества A обозначается m (A).

Определите мощность множества A = {1, 3, 5, 7, 9} нечётных чисел.

Говорят, что между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие, если из элементов этих множеств можно составить пары (a, b), причем каждый элемент из A и каждый элемент из B входят в одну и только одну пару.

Множества A и B называют равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (ещё говорят: можно установить взаимно однозначное отображение множеств).

Множества, равномощные множеству натуральных чисел, называются счётными множествами.

Множество натуральных чисел равномощно множеству нечётных чисел, так как между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, например, по следующему правилу:

Так как множество нечётных чисел является подмножеством натуральных чисел, то этот пример показывает, что бесконечное множество может быть равномощно своему подмножеству.

Множество положительных рациональных чисел счётно. Действительно, если представить каждое рациональное число в виде несократимой дроби и записать его в следующую таблицу, а затем пронумеровать, как указано на рисунке, то окажется, что множество рациональных положительных чисел действительно счётно.

Счётность множества рациональных чисел

Любой отрезок [a; b] равномощен отрезку [0; 1]. Взаимно однозначное соответствие между ними устанавливает формула y = (b − a) ċ x + a, где x ⊂ [0; 1], y ⊂ [a; b].

Множества $A=\left\{\frac{1}{2}\mathrm{, }\frac{1}{3}\mathrm{, }\frac{1}{4}\mathrm{, }\text{...}\mathrm{, }\frac{1}{n}\mathrm{, }\text{...}\right\}$ и $B=\left\{0\mathrm{, }\frac{1}{3}\mathrm{, }\frac{1}{5}\mathrm{, }\frac{1}{7}\mathrm{, }\text{...}\mathrm{, }\frac{1}{2n+1}\right\}$ счётны и потому равномощны. В самом деле, установим взаимно однозначное соответствие между ними по следующему правилу:

Существуют и другие бесконечные множества, мощность которых больше, чем мощность счётных множеств. Так, множество всех точек отрезка [0; 1] не равномощно множеству натуральных чисел $\mathbb{N}$ доказательство этой теоремы принадлежит немецкому математику Георгу Кантору.

Как было показано в примере 4, множество всех точек отрезка [0; 1] равномощно множеству точек отрезка любой длины. Легко показать равномощность множеств отрезка [a; b] и интервала (a; b), а также отрезка [a; b] и луча (a; +∞). Наконец, можно доказать равномощность множеств всех точек отрезка и квадрата.

Мощность множества всех действительных чисел (или, что то же, множества всех точек числовой оси) обозначается символом c («континуум»). Поскольку множество всех действительных чисел несчётно, то א < c.

Континуум – не самая большая из бесконечных мощностей. Так, мощность множества всех подмножеств точек числовой оси больше, чем мощность самого множества всех точек оси. Она обозначается 2^c и называется гиперконтинуумом.