Учебник. Понятие множества
Понятие множества − одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какое-либо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т. д. Элементы множества − это то, из чего это множество состоит, например, каждый ученик вашего класса есть элемент множества школьников. Множества обычно обозначают большими буквами: A, B, C, N, ..., а элементы этих множеств − аналогичными маленькими буквами: a, b, c, n, ... Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,
- − множество целых чисел;
- − множество рациональных чисел;
- 𝕀 − множество иррациональных чисел;
- − множество действительных чисел;
- ℂ − множество комплексных чисел.
Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут: a ∈ A.
Множество считается заданным, если для любого объекта можно определить, принадлежит ли этот объект множеству или нет.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Если A есть пустое множество, то пишут: A =
Если любой элемент множества A является элементом другого множества B, то говорят, что A есть подмножество множества B, и пишут: A ⊂ B.
Например, множество всех натуральных чисел является подмножеством всех действительных чисел Из определения непосредственно следует, что A ⊂ A, то есть всякое множество является подмножеством самого себя.
Если A ⊂ B, а B ⊂ A, то пишут A = B и говорят, что множества A и B равны.
В математике часто приходится иметь дело с числовыми множествами. Приведём определения и обозначения множеств, которые имеют общее название числовых промежутков.
| Название промежутка | Определение | Обозначение |
| Отрезок от a до b (замкнутое множество) | a ≤ x ≤ b | [a; b] |
| Интервал от a до b (открытое множество) | a < x < b | (a; b) |
| Открытый слева промежуток от a до b | a < x ≤ b | (a; b] |
| Открытый справа промежуток от a до b | a ≤ x < b | [a; b) |
| Закрытый числовой луч от a до +∞ | x ≥ a | [a; +∞) |
| Открытый числовой луч от a до +∞ | x > a | (a; +∞) |
| Закрытый числовой луч от −∞ до a | x ≤ a | (−∞; a] |
| Открытый числовой луч от −∞ до a | x < a | (−∞; a) |
| Числовая прямая | −∞ < x < +∞ |
Задайте перечислением множество B = {x: x2 − 2x + 1 = 0}. Это стандартная запись для задания множества, читается она так: множество элементов x таких, что x2 − 2x + 1 = 0.
Так как уравнение x2 − 2x + 1 = 0 имеет единственный корень x = 1, то множество B состоит из одного элемента B = {1}.
Ответ. B = {1}.
Определите множество A натуральных чисел, меньших
Так как любое натуральное число больше 1 и тем более то натуральных чисел, обладающих указанным свойством, не существует, и A =
Ответ. A =
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".