Учебник. Метод замены неизвестных при решении систем

В этой системе очевидна замена $u=\sqrt{\frac{ax+by}{bx+ay}}$ и $v=\sqrt{\frac{x+1}{y}}$ Заметив, что u > 0 и v > 0, для новых переменных получаем систему $\{\begin{array}{l}u+\frac{1}{u}=\mathrm{2, }\\ v+\frac{1}{v}=\frac{5}{2}\mathrm{.}\end{array}$

Из первого уравнения: $u^2+1=2u\iff u^2-2u+1={\mathrm{(}u-1\mathrm{)}}^2=0\iff u=1$ Второе уравнение имеет два решения: $2v^2+2=5v\iff 2v^2-5v+2=0\iff v_1=\mathrm{2, }{v}_2=\frac{1}{2}$

Итак, $u=\sqrt{\frac{ax+by}{bx+ay}}=1\Rightarrow ax+by=bx+ay\Rightarrow \mathrm{(}a-b\mathrm{)}x=\mathrm{(}a-b\mathrm{)}y$ Получаем два случая.

1) a = b. Имеем $\sqrt{\frac{x+1}{y}}=2$ или $\sqrt{\frac{x+1}{y}}=\frac{1}{2}$ Эти уравнения равносильны соответственно следующим: $x+1=4y$ и $y=4\mathrm{(}x+1\mathrm{)}$ причём из исходной системы видно, что $x\ne \mathrm{-}\mathrm{1, }y\ne 0$ Итак, в этом случае решениями являются все точки, лежащие на прямых $x+1=4y$ и $y=4\mathrm{(}x+1\mathrm{)}$ кроме точки с координатами (–1, 0).

2) $a\ne b\Rightarrow x=y$ В этом случае система равносильна двум.

a) $\{\begin{array}{l}x=y\mathrm{, }\\ \frac{x+1}{y}=4\mathrm{; }\end{array}\iff x=y=\frac{1}{3}$

b) $\{\begin{array}{l}x=y\mathrm{, }\\ \frac{x+1}{y}=\frac{1}{4}\mathrm{; }\end{array}\iff x=y=\mathrm{-}\frac{4}{3}$

Ответ. Если a = b, то решениями являются все точки прямых $x+1=4y$ и $y=4\mathrm{(}x+1\mathrm{)}$ кроме точки с координатами (–1, 0). Если a ≠ b, то $\left(\frac{1}{3}\mathrm{, }\frac{1}{3}\right)$ и $\left(\mathrm{-}\frac{4}{3}\mathrm{, }\mathrm{-}\frac{4}{3}\right)$

Делаем очевидную замену неизвестных $u=\sqrt{x+y}$ и $v=\sqrt{2x+y+3}$ Тогда $u^2=x+y\mathrm{, }{v}^2=2x+y+3$ Выразим x и y: $x=v^2-u^2-\mathrm{3,}y=2u^2-v^2+3$ Получаем систему $\{\begin{array}{l}u+v=\mathrm{7, }\\ 3\mathrm{(}{v}^2-u^2-3\mathrm{)}+2\mathrm{(}2u^2-v^2+3\mathrm{)}=22.\end{array}\iff \{\begin{array}{l}u+v=\mathrm{7, }\\ u^2+v^2=25.\end{array}\iff \{\begin{array}{l}v=7-u\mathrm{, }\\ u^2+v^2=25.\end{array}$ А эту систему легко решить подстановкой: $u^2+{\mathrm{(}7-u\mathrm{)}}^2=25\iff u^2-7u+12=0$ Корни системы: $u_1=3$ и $u_2=4$ Находим соответственно $v_1=4$ и $v_2=3$ Имеем два случая:

1. $u=\mathrm{3, }v=4$ Тогда $x=v^2-u^2-3=4$ и $y=2u^2-v^2+3=5\text{.}$

2. $u=\mathrm{4, }v=3$ Тогда $x=v^2-u^2-3=\mathrm{-}10$ и $y=2u^2-v^2+3=26\text{.}$

Ответ. $\mathrm{(}4\mathrm{; }5\mathrm{)}\mathrm{,}\mathrm{(}\mathrm{-}10\mathrm{; }26\mathrm{)}\mathrm{.}$