Открытая Математика. Алгебра. Симметрические системы

Симметрические системы

Функция $f (x, y)$ называется симметрической, если для всех x и y выполнено равенство $f (x, y) = f (y, x) .$

Многочлен от двух переменных вида $f (x, y) = 3 x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} + 15$ является симметрической функцией. В самом деле, $f (y, x) = 3 y^{2} - 2 y x + 3 x^{2} + 15 = 3 x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} + 15 = f (x, y) .$

Функция $f (x, y) = x^{2} + y^{2} + \frac{\sqrt{2 {(x - y)}^{2} - 1}}{| x - y |}$ является симметрической. В самом деле, $f (x, y) = y^{2} + x^{2} + \frac{\sqrt{2 {(y - x)}^{2} - 1}}{| y - x |} = x^{2} + y^{2} + \frac{\sqrt{2 {(x - y)}^{2} - 1}}{| x - y |} = f (x, y) .$

Оказывается, справедлива замечательная теорема о симметрических многочленах.

Любой симметрический многочлен от двух переменных представим в виде функции от двух основных симметрических многочленов $\begin{array}{l} u (x, y) = x + y, \\ v (x, y) = x y . \end{array}$

Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция двух переменных φ (u, v), что $f (x, y) = φ (u (x, y), v (x, y)) .$

Доказательство этого факта хотя и доступно школьнику, но далеко выходит за рамки школьного курса, поэтому мы приведём лишь примеры, которые иллюстрируют применение этой теоремы.

Функция $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ может быть преобразована следующим образом: $f (x, y) = x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y = φ (u (x, y), v (x, y)),$ где $φ (u, v) = u^{2} - 2 v .$

Функция $f (x, y) = x^{3} + y^{3}$ может быть преобразована следующим образом: $f (x, y) = x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = (x + y) ({(x + y)}^{2} - 3 x y) = φ (u (x, y), v (x, y)),$ где $φ (u, v) = u (u^{2} - 3 v) .$

Аналогично, симметрическая функция трёх переменных определяется как функция, которая не изменяет своего значения при произвольных перестановках своих аргументов, то есть $f (x, y, z) = f (x, z, y) = f (y, x, z) = f (y, z, x) = f (z, x, y) = f (z, y, x) .$

Для симметрических многочленов трёх переменных справедлива точно такая же теорема, как и для многочленов двух переменных, а именно:

Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим в виде функции от трёх основных симметрических многочленов: $\begin{array}{l} u (x, y, z) = x + y + z, \\ v (x, y, z) = x y + y z + z x, \\ w (x, y, z) = x y z . \end{array}$

Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция трёх переменных θ (u, v, w), что $f (x, y) = θ (u (x, y, z), v (x, y, z), w (x, y, z)) .$

Применим эту теорему для упрощения систем уравнений.

Решите систему уравнений ${\begin{array}{l} x^{3} y + x y^{3} = 10, \\ x^{2} + y^{2} = 5. \end{array}$

Эта система является симметрической, поэтому делаем стандартную замену $u = x + y,$ $v = x y .$ Поскольку $x^{3} y + x y^{3} = x y (x^{2} + y^{2}),$ а из второго уравнения системы следует, что $x^{2} + y^{2} = 5,$ то $x^{3} y + x y^{3} = x y (x^{2} + y^{2}) = 5 x y = 5 v .$ Левая часть второго уравнения перепишется так: $x^{2} + y^{2} = u^{2} - 2 v .$ Относительно u и v получаем систему ${\begin{array}{l} 5 v = 10, \\ u^{2} - 2 v = 5; \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} v = 2, \\ u^{2} = 9; \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{array}{l} v = 2, \\ u = 3; \end{array} \\ {\begin{array}{l} v = 2, \\ u = - 3 . \end{array} \end{array}$

Перейдем к переменным x и y:

1) ${\begin{array}{l} x + y = 3, \\ x y = 2; \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} y = 3 - x, \\ x (3 - x) = 2; \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} y = 3 - x, \\ x^{2} - 3 x + 2 = 0; \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{array}{l} x = 1, \\ y = 2; \end{array} \\ {\begin{array}{l} x = 2, \\ y = 1. \end{array} \end{array}$

2) ${\begin{array}{l} x + y = - 3, \\ x y = 2; \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} y = - 3 - x, \\ x (- 3 - x) = 2; \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} y = 3 - x, \\ x^{2} + 3 x + 2 = 0; \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{array}{l} x = - 1, \\ y = - 2; \end{array} \\ {\begin{array}{l} x = - 2, \\ y = - 1. \end{array} \end{array}$

Ответ. $(± 1; ± 2), (± 2; ± 1) .$

Решите систему уравнений ${\begin{array}{l} x^{3} + y^{3} = 4, \\ x y = 1. \end{array}$

Эта система – симметрическая, поэтому делаем стандартную замену u = x + y, v = xy. Преобразуем левую часть первого уравнения: $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = (x + y) ({(x + y)}^{2} - 3 x y) = u (u^{2} - 3 v),$ тогда система принимает вид: ${\begin{array}{l} u (u^{2} - 3 v) = 4, \\ v = 1; \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} u^{3} - 3 u - 4 = 0, \\ v = 1. \end{array}$

Итак, для u получаем уравнение $u^{3} - 3 u - 4 = 0 .$ Вспомним теорему о рациональных корнях многочленов (§ 2.1.5). Рациональные корни нашего уравнения нужно искать среди делителей числа –4. Перебирая все делители, убеждаемся, что рациональных корней у уравнения нет. Однако эта теорема и не была теоремой существования корней. Указанная теорема констатировала лишь следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами существуют рациональные корни (но для них имеется ещё возможность НЕ существовать), то эти корни будут иметь некоторый специальный вид. Тот случай, когда рациональных корней нет, эта теорема и не описывала.

Попробуем найти корни уравнения исходной системы среди иррациональных чисел. Однако для этого придется проявить некоторую изобретательность: стандартная замена для симметрических систем здесь, очевидно не работает.

Возводя второе уравнение в куб, получим: ${\begin{array}{l} x^{3} + y^{3} = 4, \\ x^{3} y^{3} = 1. \end{array}$ Таким образом, по теореме Виета, $x^{3}$ и $y^{3}$ являются корнями квадратного уравнения $t^{2} - 4 t + 1 = 0 .$ Отсюда $t_{1} = 2 - \sqrt{3}$ и $t_{2} = 2 + \sqrt{3} .$ Значит, $x_{1} = \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}}, y_{1} = \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}}; x_{2} = \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}}, y_{2} = \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}} .$

Заметим, что мы нашли один из корней уравнения $u^{3} - 3 u - 4 = 0 :$ $u = x + y = \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}} + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}} .$

Ответ. $(\sqrt[3]{2 - \sqrt{3}}; \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}}), (\sqrt[3]{2 + \sqrt{3}}; \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}}) .$

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Симметрические системы

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ