Открытая Математика. Алгебра. Однородные системы

Однородные системы

Функция $f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ называется однородной степени k, если для любого действительного t выполнено равенство $f (t x_{1}, t x_{2}, ..., t x_{n}) = t^{k} f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) .$

Выяснить, является ли функция $f (x, y) = 7 x^{2} y + 2005 x y^{2} + \sqrt{15} x^{3}$ однородной.

Вычислим $f (t x, t y) = 7 {(t x)}^{2} ċ t y + 2005 t x ċ {(t y)}^{2} + \sqrt{15} {(t x)}^{3} = t^{3} (7 x^{2} y + 2005 x y^{2} + \sqrt{15} x^{3}) = t^{3} f (x, y) .$

Значит, функция является однородной третьей степени.

Ответ. Функция является однородной третьей степени.

Выяснить, является ли однородной, и если да, то найти показатель однородности функции $f (x, y) = \frac{12 x^{2} - π ċ x y}{\sqrt{2} x y + \frac{2}{3} y^{2}} .$

Вычислим, согласно определению, $f (t x, t y) .$ Имеем $f (t x, t y) = \frac{12 {(t x)}^{2} - π ċ t x ċ t y}{\sqrt{2} t x ċ t y + \frac{2}{3} {(t y)}^{2}} = \frac{t^{2} (12 x^{2} - π ċ x y)}{t^{2} (\sqrt{2} x y + \frac{2}{3} y^{2})} = \frac{12 x^{2} - π ċ x y}{\sqrt{2} x y + \frac{2}{3} y^{2}} = f (x, y) = t^{0} f (x, y) .$

Итак, действительно, эта функция является однородной с показателем однородности 0 (или однородная нулевой степени).

Ответ. Функция является однородной с показателем однородности 0.

Если уравнения системы можно представить в виде $f_{n} (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) = 0,$ где $f_{n}$ – однородные функции, то, во-первых, нужно проверить, существуют не является ли решением $x_{n} = 0 .$ После того, как установлено отсутствие таких решений (или же все такие решения найдены), вводится стандартная замена переменных $t = \frac{y}{x} .$

Полученное уравнение относительно переменной t, как правило, проще исходных уравнений и может быть легко решено.

Решить систему уравнений ${\begin{array}{l} 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} = 3, \\ 2 x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} = 4. \end{array}$

Ни одно из уравнений системы не является однородным, однако в левой части уравнений стоят однородные функции. Применим стандартный приём, который позволяет свести систему такого вида к однородному уравнению. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3 и вычтем из первого уравнения второе. Имеем: $4 (2 x^{2} - x y - 3 y^{2}) - 3 (2 x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}) = 2 x^{2} + 5 x y - 18 y^{2} = 3 ċ 4 - 4 ċ 3 = 0,$ $2 x^{2} + 5 x y - 18 y^{2} = 0 .$ А это уравнение уже однородное. Очевидно, что пара (0; 0) является его решением, однако непосредственной подстановкой можно убедиться, что эта пара не является решением исходной системы уравнений. Значит, разделим уравнение на $y^{2} .$ Получим: $2 {(\frac{x}{y})}^{2} + 5 ċ \frac{x}{y} - 18 = 0 .$

Стандартная замена $t = \frac{x}{y}$ приводит нас к квадратному уравнению $2 t^{2} + 5 t - 18 = 0,$ корни которого $t_{1} = 2$ и $t_{2} = - \frac{9}{2} .$ Система распалась на две:

1) ${\begin{array}{l} \frac{x}{y} = 2 \Leftrightarrow x = 2 y, \\ 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} = 3. \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = 2 y, \\ 2 {(2 y)}^{2} - (2 y) y - 3 y^{2} = 3. \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = 2 y, \\ y^{2} = 1. \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{array}{l} x = 2, \\ y = 1; \end{array} \\ {\begin{array}{l} x = - 2, \\ y = - 1 . \end{array} \end{array}$

2) ${\begin{array}{l} \frac{x}{y} = - \frac{9}{2} \Leftrightarrow x = - \frac{9}{2} y, \\ 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} = 3. \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = - \frac{9}{2} y, \\ 2 {(- \frac{9}{2} y)}^{2} - (- \frac{9}{2} y) y - 3 y^{2} = 3. \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = - \frac{9}{2} y, \\ y^{2} = \frac{1}{14} . \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{array}{l} x = - \frac{9}{2 \sqrt{14}}, \\ y = \frac{1}{\sqrt{14}}; \end{array} \\ {\begin{array}{l} x = \frac{9}{2 \sqrt{14}}, \\ y = - \frac{1}{\sqrt{14}} . \end{array} \end{array}$

Ответ. $(± 2; ± 1),$ $(± \frac{9}{2 \sqrt{14}}; \bar{+} \frac{1}{\sqrt{14}}) .$

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Однородные системы

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ