Открытая Математика. Алгебра. Неравенства с модулем

Неравенства с модулем

Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.

Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки (границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений), а затем неравенство решается на каждом из промежутков.

Этот метод работает всегда. Правда, в отдельных случаях может быть затруднена его техническая реализация, например, очень тяжело или невозможно найти корни подмодульных выражений и пр. Однако, это сложности иного плана. Нужно понимать, что раскрытие модуля по определению неизменно приводит к цели. Конечно же, этот метод не является оптимальным: в условиях конкурсного экзамена важен не только результат, но и то время, которое потрачено на его получение.

Рассмотрим методы, не связанные с поиском нулей функций, стоящих под знаком модуля.

Рассмотрим неравенство $| f (x) | \leq g (x) .$ Очевидно, что те x, для которых g (x) < 0, не являются решениями. Значит, если x является решением, то для него g (x) ≥ 0, и согласно геометрическому смыслу модуля, как расстоянию на координатной оси, данное неравенство равносильно системе $- g (x) \leq f (x) \leq g (x) .$ Таким образом, имеем $| f (x) | \leq g (x) \Leftrightarrow {\begin{array}{l} f (x) \leq g (x), \\ f (x) \geq - g (x), \end{array} \Leftrightarrow - g (x) \leq f (x) \leq g (x) .$

Аналогично можно рассмотреть неравенство $| f (x) | \geq g (x) .$ Неравенство выполнено для тех x, для которых g (x) < 0 и функции f (x) и g (x) определены. Для тех x, для которых g (x) ≥ 0, имеем равносильную совокупность $[\begin{array}{l} f (x) \geq g (x), \\ f (x) \leq - g (x) . \end{array}$

| f (x) | \geq g (x) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} g (x) < 0, \\ {\begin{array}{l} [\begin{array}{l} f (x) \geq g (x), \\ f (x) \leq - g (x), \end{array} \\ g (x) \geq 0. \end{array} \end{array}

Заметим, что последняя совокупность является равносильной нашему неравенству и при g (x) ≤ 0. В этом можно непосредственно убедиться, учтя g (x) ≤ 0 и вспомнив определение знака совокупности.

Решите неравенство $| x^{2} - 3 x + 2 | + | 2 x + 1 | \leq 5 .$

Перейдём к равносильной совокупности. $| x^{2} - 3 x + 2 | + | 2 x + 1 | \leq 5 \Leftrightarrow | x^{2} - 3 x + 2 | \leq 5 - | 2 x + 1 | \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x^{2} - 3 x + 2 \leq 5 - | 2 x + 1 |, \\ x^{2} - 3 x + 2 \geq | 2 x + 1 | - 5; \end{array} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow {\begin{array}{l} | 2 x + 1 | \leq - x^{2} + 3 x + 3, \\ | 2 x + 1 | \leq x^{2} - 3 x + 7; \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} {\begin{array}{l} 2 x + 1 \leq - x^{2} + 3 x + 3, \\ 2 x + 1 \geq x^{2} - 3 x - 3; \end{array} \\ {\begin{array}{l} 2 x + 1 \leq x^{2} - 3 x + 7, \\ 2 x + 1 \geq - x^{2} + 3 x - 7; \end{array} \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} {\begin{array}{l} x^{2} - x - 2 \leq 0, \\ x^{2} - 5 x - 4 \leq 0; \end{array} \\ {\begin{array}{l} x^{2} - 5 x + 6 \geq 0, \\ x^{2} - x + 8 \geq 0; \end{array} \end{array} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow {\begin{array}{l} {\begin{array}{l} - 1 \leq x \leq 2, \\ \frac{5 - \sqrt{41}}{2} \leq x \leq \frac{5 + \sqrt{41}}{2}; \end{array} \\ {\begin{array}{l} x \leq 2 или x \geq 3, \\ x - любое; \end{array} \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} \frac{5 - \sqrt{41}}{2} \leq x \leq 2, \\ x \leq 2 или x \geq 3; \end{array} \Leftrightarrow \frac{5 - \sqrt{41}}{2} \leq x \leq 2.$

Ответ. $\frac{5 - \sqrt{41}}{2} \leq x \leq 2 .$

Как видно, в простых случаях особых преимуществ метод перехода к равносильной системе не имеет, но иногда его преимущества весьма заметны.

Решите неравенство $| | x^{3} - x - 1 | - 5 | \geq x^{3} + x + 8 .$

Как видно, найти значения x, при которых подмодульное выражение обращается в нуль, чрезвычайно затруднительно. Однако переход к равносильной системе значительно упрощает дело. Имеем: $| | x^{3} - x - 1 | - 5 | \geq x^{3} + x + 8 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} | x^{3} - x - 1 | - 5 \geq x^{3} + x + 8, \\ | x^{3} - x - 1 | - 5 \leq - x^{3} - x - 8; \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} | x^{3} - x - 1 | \geq x^{3} + x + 13, \\ | x^{3} - x - 1 | \leq - x^{3} - x - 3; \end{array} \Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} [\begin{array}{l} x^{3} - x - 1 \geq x^{3} + x + 13, \\ x^{3} - x - 1 \leq - x^{3} - x - 13; \end{array} \\ {\begin{array}{l} x^{3} - x - 1 \leq - x^{3} - x - 3, \\ x^{3} - x - 1 \geq x^{3} + x + 3; \end{array} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} [\begin{array}{l} x \leq - 7, \\ x \leq - \sqrt[3]{6}; \end{array} \\ {\begin{array}{l} x \leq - 1, \\ x \leq - 2; \end{array} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \leq - \sqrt[3]{6}, \\ x \leq - 2; \end{array} \Leftrightarrow x \leq - \sqrt[3]{6} .$

Ответ. $x \leq - \sqrt[3]{6} .$

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Неравенства с модулем

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ