Учебник. Рациональные неравенства

Рассмотрим выражение вида: ${\mathrm{(}x-a_1\mathrm{)}}^{n_1}{\mathrm{(}x-a_2\mathrm{)}}^{n_2}\mathrm{...}{\mathrm{(}x-a_k\mathrm{)}}^{n_k}<0.$ (Вместо знака < могут стоять знаки >, ≤, ≥.)

Основным методом решения неравенств вида (1) является метод интервалов. Начнём рассматривать его, прежде всего, для многочленов. Этот метод основан на том, что двучлен (x – a) положителен при x > a и отрицателен при x < a, то есть при переходе через точку x = a этот двучлен меняет знак.

Отсюда следуют полезные замечания.

• Многочлен ${\mathrm{(}x-a\mathrm{)}}^{2n+1}\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}$ то есть двучлен в нечётной степени, положителен и отрицателен на тех же интервалах, что и (x – a).

• Многочлен ${\mathrm{(}x-a\mathrm{)}}^{2n}\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}$ то есть двучлен в чётной степени, не меняет знак при переходе через точку x = a, а в самой точке обращается в нуль.

  Вывод. Многочлены вида ${\mathrm{(}x-a\mathrm{)}}^{2n}\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}$ при решении строгих неравенств («<» или «>») можно опустить, так как они не влияют на знак неравенства. При этом из решения нужно исключить точки, в которых многочлен равен нулю:$\mathrm{(}x-1\mathrm{)}{\mathrm{(}x-2\mathrm{)}}^2>0\Rightarrow x\in \mathrm{(}1\mathrm{;}2\mathrm{)}\cup \mathrm{(}2\mathrm{;}\mathrm{+}\mathrm{\infty }\mathrm{)}\mathrm{.}$

• Многочлен $a{x}^2+bx+c\mathrm{,}a>\mathrm{0,}{b}^2-4ac<0$ всегда положителен и потому при решении любого неравенства может быть опущен.

• При переходе через точку x = a может изменить знак только двучлен (x – a), остальные двучлены не меняют знака.

Решите неравенство ${\mathrm{(}x-1\mathrm{)}}^5{\mathrm{(}x+3\mathrm{)}}^2\mathrm{(}x+5\mathrm{)}{\mathrm{(}x-4\mathrm{)}}^{14}\ge 0$

Отметим на числовой оси нули многочлена, стоящего в левой части неравенства. При x > 4 все множители положительны. При переходе через точку x = 4 многочлен не меняет знак, так как двучлен (x – 4) входит в чётной степени. При переходе через точку x = 1 знак многочлена изменится, так как (x – 1) входит в нечётной степени. На промежутке (–5; –3) многочлен отрицателен, так как при переходе через точку x = –3 он не изменит знак (множитель (x + 3) в чётной степени). При переходе через точку x = –5 знак опять меняется, так как (x + 5) входит в первой степени.

Чередование знаков отразим на рисунке с помощью так называемой кривой знаков. Наиболее быстро это можно сделать следующим образом. Выясним, какой знак имеет многочлен на самом правом промежутке, для этого нужно лишь понять, какие знаки будут иметь все сомножители, если в этот многочлен подставить достаточно большое число (большее самого большого корня многочлена). После этого определяем знак всего многочлена на этом промежутке и начинаем рисовать кривую знаков справа налево, переходя через точки (меняя знак) или «отражаясь» от числовой оси (если степень двучлена, соответствующего данной точке, чётна). Теперь, двигаясь в обратном направлении, с рисунка считываем:

Ответ. $x\in \mathrm{(}\mathrm{-}\infty \mathrm{;}\mathrm{-}5\mathrm{]}\cup \mathrm{\{}\mathrm{-}3\mathrm{\}}\cup \mathrm{[}1\mathrm{;}\mathrm{+}\infty \mathrm{)}$

Рассмотрим стандартный приём решения рациональных неравенств, основанный на сведении данного неравенства к неравенству для многочлена, метод решения которого (метод интервалов) нам уже известен. Итак, рассмотрим рациональное неравенство

где f (x) и g (x) − рациональные функции, то есть функции, представимые в виде отношения многочленов. Перенося обе части рационального неравенства в левую часть, представим её в виде отношения двух многочленов: $\frac{P\mathrm{(}x\mathrm{)}}{Q\mathrm{(}x\mathrm{)}}>0$ (Такой вид неравенства называется стандартным.) Заметим, что:

• $\frac{P\mathrm{(}x\mathrm{)}}{Q\mathrm{(}x\mathrm{)}}>0\iff P\mathrm{(}x\mathrm{)}ċQ\mathrm{(}x\mathrm{)}>0$ то есть отношение двух многочленов положительно тогда и только тогда, когда положительно их произведение.

• $\frac{P\mathrm{(}x\mathrm{)}}{Q\mathrm{(}x\mathrm{)}}<0\iff P\mathrm{(}x\mathrm{)}ċQ\mathrm{(}x\mathrm{)}<0$ то есть отношение двух многочленов отрицательно тогда и только тогда, когда отрицательно их произведение.

Итак, $\frac{P\mathrm{(}x\mathrm{)}}{Q\mathrm{(}x\mathrm{)}}>0\iff P\mathrm{(}x\mathrm{)}ċQ\mathrm{(}x\mathrm{)}>0$ $\frac{P\mathrm{(}x\mathrm{)}}{Q\mathrm{(}x\mathrm{)}}<0\iff P\mathrm{(}x\mathrm{)}ċQ\mathrm{(}x\mathrm{)}<0$

Левая часть полученных неравенств есть произведение многочленов, то есть сама является многочленом. А поскольку его знак совпадает со знаком дроби $\frac{P\mathrm{(}x\mathrm{)}}{Q\mathrm{(}x\mathrm{)}}$ то дробь меняет или не меняет знак при переходе через точку x = a в зависимости от того, входит в него двучлен (x – a) в чётной или нечётной степени.

Если же двучлен (x – a) входит в многочлен P (x) в степени k, а в многочлен Q (x) − в степени l, то в многочлен P (x) ċ Q (x) этот двучлен войдёт в степени k + l, а в дробь $\frac{P\mathrm{(}x\mathrm{)}}{Q\mathrm{(}x\mathrm{)}}$ − в степени k – l. Легко проверить, что для любых чисел k и l чётность чисел k + l и k – l одинакова. Следовательно, вывод о поведении дроби $\frac{P\mathrm{(}x\mathrm{)}}{Q\mathrm{(}x\mathrm{)}}$ при переходе через точку x = a мы сделаем в точности такой же, как если бы наше неравенство было представлено в виде многочлена P (x) ċ Q (x).

Таким образом, показан принципиальный метод решения рациональных неравенств. Имея в виду последнее замечание, метод интервалов для рациональных функций можно сформулировать в следующем виде.

1. Привести неравенство к стандартному виду $\frac{P\mathrm{(}x\mathrm{)}}{Q\mathrm{(}x\mathrm{)}}>0$

2. Разложить на множители многочлены P (x) и Q (x) (как мы знаем, для этого придётся решить уравнения P (x) = 0 и Q (x) = 0).

3. Нули числителя, не совпадающие с нулями знаменателя, отметить на числовой оси точками, а нули знаменателя − кружочками (эти точки, очевидно, не входят в ОДЗ рациональной функции и потому они как будто «выколоты» из числовой оси).

4. Подставить мысленно в неравенство очень большое число (большее самого большого из корней числителя и знаменателя) для того, чтобы определить, какой знак имеет рациональная функция на самом правом интервале. Провести кривую знаков, проходя через все точки, отмеченные на числовой прямой, меняя или не меняя знак в зависимости от суммарной степени двучлена, отвечающего данной точке.

5. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки, часть из которых может быть «выколота».

Таким образом, для нестрогих рациональных неравенств имеем по определению $\frac{P\mathrm{(}x\mathrm{)}}{Q\mathrm{(}x\mathrm{)}}\ge 0\iff [\begin{array}{l}\frac{P\mathrm{(}x\mathrm{)}}{Q\mathrm{(}x\mathrm{)}}>\mathrm{0, }\\ \{\begin{array}{l}P\mathrm{(}x\mathrm{)}=\mathrm{0, }\\ Q\mathrm{(}x\mathrm{)}\ne 0.\end{array}\end{array}$            $\frac{P\mathrm{(}x\mathrm{)}}{Q\mathrm{(}x\mathrm{)}}\le 0\iff [\begin{array}{l}\frac{P\mathrm{(}x\mathrm{)}}{Q\mathrm{(}x\mathrm{)}}<\mathrm{0, }\\ \{\begin{array}{l}P\mathrm{(}x\mathrm{)}=\mathrm{0, }\\ Q\mathrm{(}x\mathrm{)}\ne 0.\end{array}\end{array}$

Решить неравенство $\frac{x^3-2x^2-x+2}{x^2+2x-8}\ge 0$

Имеем $\frac{x^3-2x^2-x+2}{x^2+2x-8}=\frac{\mathrm{(}x+1\mathrm{)}\mathrm{(}x-1\mathrm{)}\mathrm{(}x-2\mathrm{)}}{\mathrm{(}x-2\mathrm{)}\mathrm{(}x+4\mathrm{)}}=\frac{\mathrm{(}x+1\mathrm{)}\mathrm{(}x-1\mathrm{)}}{\mathrm{(}x+4\mathrm{)}}\ge 0\text{, }x\ne 2$

Наносим на числовую ось нули числителя и знаменателя и, строя кривую знаков, по указанному алгоритму сразу получаем:

Ответ. $x\in \mathrm{(}\mathrm{-}4\mathrm{;}\mathrm{-}1\mathrm{]}\cup \mathrm{[}1\mathrm{;}2\mathrm{)}\cup \mathrm{(}2\mathrm{;}\mathrm{+}\infty \mathrm{)}$

Заметим, что на двучлен (x – 2) можно спокойно сокращать; встретившись и в числителе и в знаменателе, он не будет влиять на знак неравенства. Надо лишь не забыть, что x ≠ 2, так как при x = 2 не определён знаменатель данной дроби.