Учебник. Понятие о неравенстве
Пусть функции f (x) и g (x) заданы на некоторых числовых множествах X1 и X2. Неравенством с одной неизвестной называется отношение вида
(Вместо знака < могут стоять знаки >, ≤, ≥.)
Областью допустимых значений неравенства (ОДЗ) называется множество значений переменной, на котором обе части неравенства одновременно определены (имеют смысл). Таким образом, то есть пересечение множеств и
Число a называется решением неравенства (1), если при подстановке его вместо переменной x получаем верное числовое неравенство f (a) < g (a).
Понятно, что a, являясь решением неравенства (1), может лежать только в ОДЗ.
Поскольку проверить решение в неравенствах не так просто, как в уравнениях, искать решения лучше сразу в ОДЗ.
Решить неравенство − это означает найти все его решения или доказать, что их нет. Совокупность всех решений неравенства называется множеством решений неравенства.
Два неравенства,
называются равносильными на множестве X, если на этом множестве неравенства имеют одни и те же решения, то есть, если каждое решение неравенства (2) является решением неравенства (3), и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого. Два неравенства, не имеющие решений на каком-либо множестве, также считаются равносильными на этом множестве.
Из приведённого определения следует, что если неравенство f1 (x) < g1 (x) окажется более простым, чем равносильное ему неравенство f (x) < g (x), то и решать нужно именно его, так как решения у него те же. Остаётся единственная проблема: как от неравенства (2) перейти к равносильному ему неравенству (3) или, как говорят, осуществить равносильный переход? Сформулируем несколько общих правил, позволяющих это делать.
Правило 1. Если функции f (x), g (x) и h (x) определены на множестве X, то неравенства
Правило 2. Если h (x) > 0 на множестве X, то неравенства
Вывод. Обе части неравенства можно умножать на положительную функцию, не нарушая равносильности.
Правило 3. Если h (x) < 0 на множестве X, то неравенства
Вывод. Обе части неравенства можно умножать на отрицательную функцию, не нарушая равносильности, меняя при этом знак неравенства на противоположный.
Правило 4. Если f (x) ≥ 0, g (x) ≥ 0 на множестве X, то неравенства
Вывод. Если обе части неравенства неотрицательны, то возведение в квадрат неравенства не нарушает равносильности. Заметим, что возводить неравенство в квадрат можно, только если обе части этого неравенства неотрицательны. Если хотя бы одна из частей неравенства отрицательна, возведение неравенства в квадрат, вообще говоря, не является равносильным преобразованием. Яснее всего это видно на примере числовых неравенств. Так, если верное неравенство −1 > −4 возвести в квадрат, то получится неверное неравенство 1 > 16. Такое противоречие вызвано именно тем, что части первоначального неравенства не были неотрицательными.
Равносильны ли неравенства
Неравенства неравносильны. Действительно,
Неравенство x + 3 < 5 будет верным и тогда, когда x + 3 < –5, например, при x = –100. Первое же неравенство при x = –100 неверно.
Ответ. Нет.
Равносильны ли неравенства и
Неравенства неравносильны. В самом деле,
Значит, множеством решений первого неравенства являются область x ≥ 0, а второго x > –1. Поскольку это разные множества, то неравенства неравносильны.
Ответ. Нет.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".