Учебник. Уравнения, содержащие модуль

Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в нуль при x = –4 и x = 5. Значит, нужно рассмотреть 3 случая:

1) x ≤ –4; 2) –4 < x ≤ 5; 3) x > 5.

Получим три уравнения, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение. На рисунке схематично показано, какой знак будут иметь подмодульные выражения на каждом из трёх промежутков.

1. x ≤ –4. В этом случае 2x + 8 < 0, x – 5 < 0. Следовательно, $\{\begin{array}{c}\mathrm{|}2x+8\mathrm{|}=\mathrm{-}2x-8\mathrm{,}\\ \mathrm{|}x-5\mathrm{|}=x+5\mathrm{.}\end{array}$ С учётом этого уравнение принимает вид

   $\mathrm{-}2x-8-5+x=12\iff x=\mathrm{-}25$

   x = –25 удовлетворяет ограничению x ≤ –4.

2. –4 < x ≤ 5. $2x+8-5+x=12\iff 3x=9\iff x=3$ Этот корень удовлетворяет нужным ограничениям.
3. 3. x > 5. $2x+8-x+5=12\iff x=\mathrm{-}1$ Этот корень не удовлетворяет нужным ограничениям.

Ответ. −25; 3.

Этому уравнению соответствуют два уравнения 2(x² + 2x – 5) = x – 1 и 2(x² + 2x – 5) = 1 – x, среди корней которых нужно отобрать удовлетворяющие условию x ≥ 1. Имеем:

1. $2x^2+3x-9=0$ Корни этого уравнения $x=\frac{3}{2}$ и x = –3, из которых подходит первый корень.

2. $2x^2+5x-11=0$ Корни этого уравнения $x_{\mathrm{1, 2}}=\frac{\mathrm{-}5\pm \sqrt{113}}{4}$ Опять подходит только первый корень, так как второй заведомо отрицателен.

Ответ. $x=\frac{3}{2}$ $x=\frac{\mathrm{-}5+\sqrt{113}}{4}$

Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений $[\begin{array}{c}\left|x^3-\sqrt{x+1}\right|-3=x^3+\sqrt{x+1}-\mathrm{7,}\\ \left|x^3-\sqrt{x+1}\right|-3=\mathrm{-}{x}^3-\sqrt{x+1}+\mathrm{7,}\end{array}$ которые можно переписать в виде $[\begin{array}{c}\left|x^3-\sqrt{x+1}\right|=x^3+\sqrt{x+1}-\mathrm{4,}\\ \left|x^3-\sqrt{x+1}\right|=\mathrm{-}{x}^3-\sqrt{x+1}+10.\end{array}$

Аналогично, каждое из этих уравнений распадается на два: $[\begin{array}{c}[\begin{array}{c}{x}^3-\sqrt{x+1}=x^3+\sqrt{x+1}-\mathrm{4,}\\ x^3-\sqrt{x+1}=\mathrm{-}{x}^3-\sqrt{x+1}+\mathrm{10,}\end{array}\\ [\begin{array}{c}{x}^3-\sqrt{x+1}=\mathrm{-}{x}^3-\sqrt{x+1}+\mathrm{4,}\\ x^3-\sqrt{x+1}=x^3+\sqrt{x+1}-\mathrm{10,}\end{array}\end{array}$ что приводит к четырём уравнениям: $[\begin{array}{c}\begin{array}{c}\sqrt{x+1}=\mathrm{2,}\\ x^3=\mathrm{5,}\end{array}\\ \begin{array}{c}{x}^3=\mathrm{2,}\\ \sqrt{x+1}=5.\end{array}\end{array}$

Отсюда получаем 4 решения: $x_1=\mathrm{3,}$  $x_3=\sqrt[3]{5}$  $x_2=\sqrt[3]{2}$  $x_4=\mathrm{24,}$  среди которых содержатся корни исходного уравнения. 1-й корень, очевидно, удовлетворяет уравнению. Это проверяется легко. 2-й и 3-й не походят, так как правая часть исходного уравнения при этих значениях отрицательна. 4-й корень тоже является лишним, так как этот корень должен удовлетворять уравнению (*), а при этом значении его правая часть отрицательна.

Ответ. 3.