Открытая Математика. Алгебра. Замена переменных в уравнении

Замена переменных в уравнении

Пожалуй, самым важным методом решения уравнений любого типа является введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой вид, легко приводящийся к элементарному типу.

Перечислим наиболее часто встречающиеся типы замен.

Замена y = xⁿ (степенная замена)

В частности, с помощью замены y = x² так называемое биквадратное уравнение ax⁴ + bx² + c = 0, a ≠ 0 приводится к квадратному.

Замена $y = P_{n} (x)$ или $y = \sqrt{P_{n} (x)}$ (замена многочлена)

Чаще всего встречается замена $y = a x^{2} + b x + c$ или $y = \sqrt{a x^{2} + b x + c} .$

Замена $y = \frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)}$ (дробно-рациональная замена). Здесь, как и всегда, $P_{n} (x)$ и $Q_{m} (x)$ − многочлены степеней n и m соответственно.

В частности, с помощью широко распространённой замены $y = x + \frac{1}{x}$ решаются так называемые возвратные уравнения, то есть уравнения вида ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, a ≠ 0.

Покажем, как это делается. Так как a ≠ 0, то число x = 0 не является корнем этого уравнения. Разделим уравнение на x² ≠ 0, получим $\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{x^{2}} = 0, \\ a (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + b (x + \frac{1}{x}) + c = 0. \end{array}$ А так как $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2,$ то после замены $y = x + \frac{1}{x}$ уравнение сводится к квадратному $a y^{2} + b y + c - 2 a = 0 .$

Дадим два практических совета.

Совет 1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

Совет 2. Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Решите уравнение (x² + x + 1)(x² + x + 2) = 12.

Сделаем замену переменных $t = x^{2} + x + 1 .$ В терминах новой неизвестной уравнение имеет вид $t (t + 1) = 12 \Leftrightarrow t^{2} + t - 12 = 0 .$ Корни этого квадратного уравнения t = –4 и t = 3. Имеем два случая.

1) $t = x^{2} + x + 1 = - 4 \Leftrightarrow x^{2} + x + 5 = 0. D = 1 - 20 = - 19 < 0 .$ Значит, это уравнение корней не имеет.

2) $t = x^{2} + x + 1 = 3 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 .$ Корни этого уравнения x = 1 и x = –2.

Ответ. x = 1 и x = –2.

Решите уравнение $\frac{4 x}{4 x^{2} - 8 x + 7} + \frac{3 x}{4 x^{2} - 10 x + 7} = 1 .$

Непосредственной проверкой убеждаемся, что x = 0 не является корнем этого уравнения. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на x. Имеем

$\frac{4 x}{4 x^{2} - 8 x + 7} + \frac{3 x}{4 x^{2} - 10 x + 7} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{4 x - 8 + \frac{7}{x}} + \frac{3}{4 x - 10 + \frac{7}{x}} = 1 .$ Теперь очевидна замена переменной: $y = 4 x + \frac{7}{x} .$ В терминах новой переменной имеем уравнение $\frac{4}{y - 8} + \frac{3}{y - 10} = 1 \Leftrightarrow \frac{4 y - 40 + 3 y - 24}{(y - 8) (y - 10)} = 1 \Leftrightarrow \frac{7 y - 64}{(y - 8) (y - 10)} = 1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 7 y - 64 = y^{2} - 18 y + 80 \Leftrightarrow y^{2} - 25 y + 144 = 0 .$ Корни этого уравнения y = 9 и y = 16. Имеем два случая:

1) $y = 4 x + \frac{7}{x} = 9 \Rightarrow 4 x^{2} - 9 x + 7 = 0, D = 81 - 112 < 0 .$ Следовательно, это уравнение корней не имеет.

2) $y = 4 x + \frac{7}{x} = 16 \Rightarrow 4 x^{2} - 16 x + 7 = 0 .$ Корни этого уравнения $x = \frac{1}{2}$ и $x = \frac{7}{2} .$

Ответ. $x = \frac{1}{2}$ и $x = \frac{7}{2} .$

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Замена переменных в уравнении

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ