Открытая Математика. Алгебра. Равносильность уравнений

Равносильность уравнений

Уравнением с одной переменной x называется выражение f (x) = g (x),

содержащее переменную величину x и знак равенства.

Число a называется корнем (или решением) уравнения (1), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство.

Замечание. Важно понимать, что решение – это ЧИСЛО, например, 15 или $\sqrt{2},$ поэтому ответ при решении уравнения должен содержать именно числа, а не выражения, уравнения и т. п.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнения f (x) = g (x) и f₁ (x) = g₁ (x) называются равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот, или если оба эти уравнения не имеют решений. Проще говоря, уравнения равносильны, если они имеют одно и то же множество корней.

Тот факт, что уравнения f (x) = g (x) и f₁ (x) = g₁ (x) равносильны, записывается так: $f (x) = g (x) \Leftrightarrow f_{1} (x) = g_{1} (x),$ здесь $\Leftrightarrow$ – знак равносильности.

Ясно, что уравнение f₁ (x) = g₁ (x) может оказаться проще уравнения f (x) = g (x), а так как оно имеет те же корни, что и исходное уравнение (1), то его и нужно решать.

Возникает вопрос: как от уравнения (1) перейти к более простому (но равносильному ему!) уравнению f₁ (x) = g₁ (x)? Сформулируем несколько правил преобразования уравнений.

Правило 1. Если выражение φ (x) определено при всех x, при которых определены выражения f (x) и g (x), то уравнения f (x) = g (x) и f (x) + φ (x) = g (x) + φ (x) равносильны. В частности, $f (x) = g (x) \Leftrightarrow f (x) - g (x) = 0 .$ Здесь φ (x) = –g (x). То есть любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, не нарушая равносильности.

Равносильны ли уравнения x = 1 и $x + \frac{1}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1} ?$

Уравнение x = 1 (f (x) = x, g (x) = 1) имеет очевидный корень 1. При этом f (x) и g (x) определены на всей действительной оси. Рассмотрим функцию $φ (x) = \frac{1}{x - 1}$ и заметим, что прибавление φ (x) к обеим частям уравнения нарушает равносильность. Действительно, как уже отмечалось, уравнение x = 1 имеет корень, а уравнение $x + \frac{1}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$ корней не имеет. Это произошло потому, что выражение φ (x) определено не при всех x, при которых определены функции f (x) и g (x). Именно, оно не определено при x = 1, при котором f (x) и g (x) имеют смысл.

Ответ. Нет.

Правило 2. Если выражение φ (x) определено при всех x, при которых определены выражения f (x) и g (x), то любое решение уравнения f (x) = g (x) является решением уравнения

f (x) ċ φ (x) = g (x) ċ φ (x).

В этом случае говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1) и записывают это так:

f (x) = g (x) \Rightarrow f (x) ċ φ (x) = g (x) ċ φ (x) .

Естественно, уравнение (2) имеет больше корней, чем уравнение (1), например, его корнями будут ещё и корни уравнения φ (x) = 0.

Таким образом, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение может привести к появлению посторонних корней.

Если же φ (x) таково, что φ (x) ≠ 0 для тех x, для которых определены функции f (x) и g (x), то $f (x) = g (x) \Leftrightarrow f (x) ċ φ (x) = g (x) ċ φ (x) .$ Это значит, что для сохранения равносильности умножать обе части уравнения можно лишь на отличное от нуля выражение.

Равносильны ли уравнения x = 1 и x(x – 2) = x – 2?

Уравнение x = 1 (f (x) = x, g (x) = 1) имеет очевидный корень 1. При этом f (x) и g (x) определены на всей действительной оси. Рассмотрим функцию φ (x) = x – 2 и заметим, что умножение обеих частей уравнения на φ (x) нарушает равносильность. Действительно, как уже отмечалось, уравнение x = 1 имеет единственный корень, а уравнение x(x – 2) = x – 2 имеет уже два корня: x = 1 и x = 2. Отметим, что все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, но не наоборот. Это и обозначается как $x = 1 \Rightarrow x (x - 2) = x - 2 .$

Ответ. Нет.

Правило 3. Каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (f (x))ⁿ = (g (x))ⁿ при любом натуральном n, то есть $f (x) = g (x) \Rightarrow {(f (x))}^{n} = {(g (x))}^{n} .$ При этом, если n нечётно (n = 2k + 1), то можно поставить знак равносильности: $f (x) = g (x) \Leftrightarrow {(f (x))}^{2 k + 1} = {(g (x))}^{2 k + 1} .$

Для чётных n справедливо только (3).

Уравнение x = 1 имеет корень 1. Возведём обе части уравнения в квадрат, получим x² = 1. Это уравнение уже имеет два корня: x = 1 и x = –1. А последнее как раз и означает, что уравнение x² = 1 является следствием уравнения x = 1. Разобранный пример показывает, что возведение уравнения в чётную степень может привести к появлению новых корней. Конечно, может и не привести, но раз есть опасность появления чего-то лишнего, то на этапе возведения в квадрат нужно осознавать эту неприятность (зачем нам лишние корни?) и потом обязательно производить проверку.

Правило 4. Каждое решение уравнения f (x) ċ g (x) = 0 является решением, по крайней мере, одного из уравнений: f (x) = 0 или g (x) = 0.

Другими словами, из уравнения f (x) ċ g (x) = 0 следует, что либо f (x) = 0, либо g (x) = 0: $f (x) ċ g (x) = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 0, \\ g (x) = 0. \end{array}$

Обратное, вообще говоря, неверно, что показывает следующий пример.

Рассмотрим уравнение $x \sqrt{2 - x} ċ (x^{2} - 3 x) = 0 .$

Здесь $f (x) = x \sqrt{2 - x}$ и $g (x) = x^{2} - 3 x .$ Корнями исходного уравнения являются числа 0 и 2. Число 3 не является его корнем, поскольку при x = 3 подкоренное выражение отрицательно. Интересно, что при этом x = 3, тем не менее, является корнем функции g (x). А это как раз обозначает, что решениями совокупности $[\begin{array}{l} f (x) = 0, \\ g (x) = 0 \end{array}$ являются числа 0, 2 и 3. Как видно, в самом деле, совокупность имеет больше решений, чем уравнение f (x) ċ g (x) = 0, то есть равносильности нет. Верным будет такое соотношение равносильности:

f (x) ċ g (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{array}{l} f (x) = 0, \\ g (x) - определена; \end{array} \\ {\begin{array}{l} g (x) = 0, \\ f (x) - определена. \end{array} \end{array}

В нашем примере условие того, что функция f (x) должна быть определена, приводит к выводу, что x = 3 – не решение, как и должно быть.

Замечание. Вспомним, что квадратная скобка [ обозначает операцию «или», то есть то, что верно хотя бы одно из выражений, объединенных скобкой. Фигурной же скобкой { обозначается операция «и», то есть выражения, объединенные знаком скобки, верны одновременно.

Из этих четырёх правил следует, что с помощью стандартных приёмов и методов решения уравнений, а именно:

преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение уравнения в нечетную натуральную степень и т. д.),
разложения на множители (формально этот приём относится к преобразованиям, но, так как он довольно часто встречается самостоятельно, мы его выделяем особо),
введения вспомогательных неизвестных,

уравнение (1) может быть сведено к более простому и, самое главное, равносильному уравнению f₁ (x) = g₁ (x).

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Равносильность уравнений

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ