Учебник. Обратные тригонометрические функции




Обратные тригонометрические функции

Вернемся к определению функции, данному в § 2.2.1. Отметим, что в этом определении функция f не обязана разным элементам x 1 и x 2 множества X ставить в соответствие разные элементы множества Y.

Если Y – множество значений функции f (x) и для любого элемента yY существует единственный элемент xX такой, что f (x) = y, то говорят, что функция осуществляет взаимнооднозначное соответствие между множествами X и Y. Другими словами, соответствие называется взаимнооднозначным, если каждому элементу xX соответствует единственный элемент yY и наоборот, каждому элементу yY соответствует единственный элемент xX . Функция, осуществляющая взаимнооднозначное соответствие, называется обратимой; ещё говорят, что у функции f существует обратная функция. Такая функция обозначается f -1 и каждому элементу yY ставит в соответствие такой элемент xX , что f (x) = y; этот факт записывают так: x= f -1  ( y ) . Однако нам непривычна запись функции как зависимости x от y. Поэтому сделаем формальную замену переменных xy , что соответствует отражению относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Тогда получим, что y= f -1  ( x ) − обратная функция, график которой получается из графика исходной функции y = f (x) отражением относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Область определения обратной функции совпадает с областью значений самой функции: ( f -1 ) =( f ) =Y . Область значений обратной функции совпадает с множеством определения самой функции: ( f -1 ) =( f ) =X .

Рассмотрим функцию f (x) = sin x для x[ - π 2 ;  π 2 ] . Тогда ( f ) =[ - π 2 ;  π 2 ], ( f ) =[ -1;  1 ] . При этом область определения выбрана так, что соответствие является взаимнооднозначным. Следовательно, существует обратная функция с областью определения ( f -1 ) =[ -1;  1 ] и областью значений ( f -1 ) =[ - π 2 ;  π 2 ] . Эта обратная функция называется арксинусом. Её обозначение: y = arcsin x. График функции y = arcsin x изображён на рисунке.

Арксинус
Функция y = arcsin x

Аналогично, на промежутке D (f–1) = E (f) = [–1; 1] можно определить функцию, обратную cos x, c областью значений E (f–1) = D (f) = [0; π] Эта обратная функция называется арккосинусом. Её обозначение: y = arccos x. График функции y = arccos x изображён на рисунке.

Арккосинус
Функция y = arccos x

Рассмотрим функцию f (x) = tg x для x( - π 2 π 2 ) . Тогда ( f ) =( - π 2 π 2 ) ( f ) =R . При этом область определения выбрана так, что соответствие является взаимнооднозначным. Следовательно, существует обратная функция с областью определения ( f -1 ) =R и областью значений ( f -1 ) =( - π 2 π 2 ) . Эта обратная функция называется арктангенсом. Её обозначение y = arctg x. График функции y = arctg x изображён на рисунке.

Арктангенс
Функция y = arctg x

Для построения арккотангенса выберем промежуток x (0; π). Тогда ( f ) =( 0 π ) ( f ) =R . Построим обратную функцию с областью определения ( f -1 ) =( f ) =R и областью значений ( f -1 ) =( f ) =( 0 π ) . Эта обратная функция называется арккотангенсом. Её обозначение y = arcctg x. График функции y = arcctg x изображён на рисунке.

Арккотангенс
Функция y = arcctg x

Итак, запись b = arcsin a обозначает, что b[ - π 2 π 2 ] и sin b = a. Аналогичные соотношения справедливы и для остальных обратных тригонометрических функций.

Докажите тождество arcsinx+arccosx= π 2 .

Пусть y=arcsinx { - π 2 y π 2 sin y=x пусть также z=arccosx { 0zπ cos z=x. Следовательно, требуется доказать неравенство y+z= π 2 . Перенесём z в правую часть и возьмём синус от обеих частей получившегося равенства: y= π 2 -z sin y=sin( π 2 -z ) =cos z .

Но sin y = x и cos z = x, значит, наше равенство принимает вид x = x. Однако для того, чтобы доказать нужное нам тождество, мы должны обосновать возможность перехода от верного равенства x = x к исходному. В самом деле, переход от равенства sin y = cos z к равенству y= π 2 -z , вообще говоря, не является равносильным преобразованием. Но у нас есть ограничения на y и z в виде неравенств - π 2 y π 2 , 0zπ , а для таких y и z равенство sin y = cos z возможно только при y= π 2 -z . Следовательно, y+z= π 2 и наконец arcsinx+arccosx= π 2 , что и требовалось доказать.

Найти соотношение между A (x) = arcsin (cos (arcsin x)) и B (x) = arccos (sin (arccos x)).

Обозначим через y переменную, для которой выполняется равенство: y=arcsinx { - π 2 y π 2 sin y=x, тогда cos y = cos (arcsin x). Значит, cos y=+ 1- sin 2  ( arcsin x ) =+ 1- x 2 . Здесь поставлен знак «+», поскольку y − угол первой или четвёртой четверти, в которых косинус положителен. Равенство sin (arcsin x) = x справедливо по определению функции арксинус. Значит, cos( arcsinx ) = 1- x 2 .

Вычислим sin (arccos x) = sin z, где z=arccosx { 0zπ, cos z=x. Значит, sin z=+ 1- cos 2  ( arccos x ) =+ 1- x 2 . Здесь поставлен знак плюс, поскольку z − угол первой или второй четверти, в которых синус положителен. Равенство cos (arccos x) = x справедливо по определению функции арккосинус. Отсюда sin( arccosx ) = 1- x 2 .

Итак, ( x ) =arcsin 1- x 2 и ( x ) =arccos 1- x 2 . В предыдущем примере мы установили, что сумма арксинуса и арккосинуса одного и того же аргумента равна π 2 . Окончательно, ( x ) +( x ) = π 2 .

Ответ.  ( x ) +( x ) = π 2 .

 

 

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

 

 

 

© Физикон, 1999-2015