Учебник. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента




Лучшие школы, лагеря, ВУЗы за рубежом
Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента
Формулы приведения

Прежде всего, получим формулы, по которым тригонометрические функции углов вида πn 2 ±α можно выражать через тригонометрические функции угла α. Эти формулы называются формулами приведения.

Отложим от положительного направления оси абсцисс угол α (см. рис. 2.4.2.1). Отразим точку A, отвечающую этому углу, относительно прямой y = x. Пусть она при отражении перейдёт в точку B. Так как координатные оси тоже симметричны относительно прямой y = x, то угол между осью ординат и радиус-вектором OB равен α.

Несложно сообразить, что угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором OB равен π 2 -α . Пусть координаты радиус-вектора OA будут (x; y), а координаты радиус-вектора OB будут (x'; y'). Так как при отражении относительно прямой y = x ось абсцисс переходит в ось ординат, то абсцисса радиус-вектора OA станет ординатой радиус-вектора OB и наоборот. Следовательно, x = y', y = x'. Но координаты x и y можно найти с помощью угла α: x = cos α, y = sin α. Аналогичные формулы связывают координаты радиус-вектора OB : x'=cos ( π 2 -α ) , y'=sin ( π 2 -α ) .

Так как x = y' и y = x', то получаем: cos ( π 2 -α ) =sin α , sin ( π 2 -α ) =cos α .

Рассмотрим радиус-вектор O A 1 , угол между которым и осью абсцисс равен –α. Очевидно, что координаты этого радиус-вектора равны (x; –y). Но абсцисса и ордината этого вектора есть синус и косинус угла –α. Следовательно, cos ( -α ) =cos α , sin ( -α ) =-sin α .

Отсюда легко получить, что tg ( -α ) = sin ( -α ) cos ( -α ) = -sin α cos α =-tg α , ctg ( -α ) = cos ( -α ) sin ( -α ) = -cos α sin α =-ctg α .

Последние равенства означают, что функции синус, тангенс и котангенс − нечётные, а функция косинус − чётная.

Заменим в формулах cos ( π 2 -α ) =sin α и sin ( π 2 -α ) =cos α угол α на –α. Имеем cos ( π 2 -( -α ) ) =sin ( -α ) =-sin α, sin ( π 2 -( -α ) ) =cos ( -α ) =cos α .

Итак, доказано, что cos ( π 2 +α ) =-sin α , sin ( π 2 +α ) =cos α .

Выполним следующие преобразования: sin ( π+α ) =sin ( π 2 +( π 2 +α ) ) =cos ( π 2 +α ) =-sin α , sin ( π-α ) =sin ( π 2 +( π 2 -α ) ) =cos ( π 2 -α ) =sin α .

Итак, sin ( π+α ) =-sin α , sin ( π-α ) =sin α .

Аналогично доказываются формулы: cos ( π+α ) =-cos α , cos ( π-α ) =-cos α .

Из последних формул следует, что sin ( 3π 2 +α ) =-cos α , sin ( 3π 2 -α ) =-cos α , cos ( 3π 2 +α ) =sin α , cos ( 3π 2 -α ) =-sin α , sin ( 2π-α ) =-sin α , cos ( 2π-α ) =cos α .

Учтём теперь, что tg α= sin α cos α ,     ctg α= cos α sin α .

Тогда из вышеприведённых формул следует: tg ( π 2 -α ) =ctg α ,     ctg ( π 2 -α ) =tg α , tg ( π 2 +α ) =-ctg α ,    ctg ( π 2 +α ) =-tg α , tg ( π-α ) =-tg α ,    ctg ( π-α ) =-ctg α .

Запишем все формулы приведения в виде таблицы.

α π+α π-α 2π+α 2π-α π2+α π2-α 3π2+α 3π2-α
sin α -sin α sin α sin α -sin α cos α cos α -cos α -cos α
cos α -cos α -cos α cos α cos α -sin α sin α sin α -sin α
tg α tg α -tg α tg α -tg α -ctg α ctg α -ctg α ctg α
ctg α ctg α -ctg α ctg α -ctg α -tg α tg α -tg α tg α

Упростите выражение:

2cos ( π 2 -x ) sin ( π 2 +x ) tg ( π-x ) ctg ( π 2 +x ) sin ( π-x ) .

Имеем:

2cos( π 2 -x ) sin( π 2 +x ) tg ( π-x ) ctg ( π 2 +x ) sin ( π-x ) = 2sinxcosx( -tg x ) -tg x sinx =2cosx .

Ответ: 2 cos x.

Основные формулы

Обратимся снова к тригонометрической окружности.

Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем: O C 2 +C A 2 =O A 2 .

Но OA = 1, OC = cos α, CA = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство


sin 2  α+ cos 2  α=1 .

Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Отсюда следует, что cos α=± 1- sin 2  α ,    sin α=± 1- cos 2  α .

Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.

Разделим основное тригонометрическое тождество на cos 2  α0 . Получим: 1+t g 2  α= 1 cos 2  α , απn n .

Разделим основное тригонометрическое тождество на sin 2  α0 . Получим: 1+ct g 2  α= 1 sin 2  α , α π 2 +πn n .

Из определений тангенса и котангенса tg α= sin α cos α , ctg α= cos α sin α следует: tg αċctg α=1, α πn 2 , n .

Найдите sin x и cos x, если tg x= 5 12 и π<x< 3π 2 .

Так как π<x< 3π 2 , то sin x < 0 и cos x < 0. Имеем: 1 cos 2  x =1+t g 2  x=1+ ( 5 12 ) 2 = 12 2 + 5 2 12 2 = 13 2 12 2 = ( 13 12 ) 2 cos 2  x= ( 12 13 ) 2 cos x=- 12 13 . sin x=cos xċtg x=- 12 13 ċ 5 12 =- 5 13 .

Ответ.  sin x=- 5 13 , cos x=- 12 13 .

Упростить выражение: sin ( π+x )  cos ( π-x ) -tg ( π 2 -x ) 1- ( sin ( π 2 +x ) +sin ( π-x ) ) 2 .

sin ( π+x )  cos ( π-x ) -tg ( π 2 -x ) 1- ( sin ( π 2 +x ) +sin ( π-x ) ) 2 = -sin x ( -cos x ) -ctg x 1- ( cos x+sin x ) 2 =

= sin x cos x-ctg x 1- cos 2  x- sin 2  x-2 sin x cos x = sin x cos x-ctg x -2 sin x cos x =- 1 2 + sin x cos x 2 sin x cos x =

= 1 2 ( 1 cos 2  x -1 ) = 1 2 t g 2  x.

Ответ:  1 2 t g 2  x .

Формулы сложения

Для вывода формул сложения для тригонометрических функций рассмотрим тригонометрическую окружность и два радиус-вектора OA и OB , отвечающих углам α и –β (см. рис. 2.4.2.3).

Координаты этих векторов по определению тригонометрических функций равны: OA ( cos α;  sin α ) ,  OB ( cos β;  -sin β ) . Поскольку это радиус-векторы, то их длины равны 1. Вычислим скалярное произведение этих векторов двумя способами:

1. По определению. OA ċ OB =| OA |ċ| OB |ċcos ( α+β ) =1ċ1ċcos ( α+β ) =cos ( α+β ) , поскольку угол между единичными векторами OA и OB равен α + β.

2. Через координаты. Имеем: OA ċ OB =cos α cos β-sin α sin β .

Итак, получена следующая формула сложения: cos ( α+β ) =cos α cos β-sin α sin β .

Заменим в этой формуле β на –β. Получим ещё одну формулу. cos ( α-β ) =cos α cos ( -β ) -sin α sin ( -β ) =cos α cos β+sin α sin β , cos ( α-β ) =cos α cos β+sin α sin β .

Имеем: sin ( α+β ) =cos ( π 2 -( α+β ) ) =cos ( π 2 -α-β ) =cos ( ( π 2 -α ) -β ) = =cos ( π 2 -α ) cos β+sin ( π 2 -α ) sin β=sin α cos β+cos α sin β . Значит, sin ( α+β ) =sin α cos β+cos α sin β.

Заменим в этой формуле β на –β, получим ещё одну формулу. sin ( α-β ) =sin α cos ( -β ) -cos α sin ( -β ) =sin α cos β-cos α sin β , sin ( α-β ) =sin α cos β-cos α sin β .

Из этих формул непосредственно следует, что tg ( α+β ) = sin ( α+β ) cos ( α+β ) = sin α cos β+cos α sin β cos α cos β-sin α sin β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = tg α+tg β 1-tg α tg β , tg ( α+β ) = tg α+tg β 1-tg α tg β . Последняя формула справедлива при α π 2 +πn, n β π 2 +πn, nα+β π 2 +πn, n .

ctg ( α+β ) = cos ( α+β ) sin ( α+β ) = cos α cos β-sin α sin β sin α cos β+cos α sin β = cos α cos β sin α sin β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = ctg α ctg β-1 ctg α+ctg β , ctg ( α+β ) = ctg α ctg β-1 ctg α+ctg β .

Эта формула справедлива при απn, n, βπn, n, α+βπn, n .

Заменяя в последних формулах β на –β, получим ещё две формулы: tg ( α-β ) = tg α+tg ( -β ) 1-tg α tg ( -β ) = tg α-tg β 1+tg α tg β , tg ( α-β ) = tg α-tg β 1+tg α tg β . Последняя формула справедлива при α π 2 +πn, n, β π 2 +πnnα-β π 2 +πnn .

ctg ( α-β ) = ctg α ctg ( -β ) -1 ctg α+ctg ( -β ) =- ctg α ctg β+1 ctg α-ctg β , ctg ( α-β ) =- ctg α ctg β+1 ctg α-ctg β .

Эта формула справедлива при απnn, βπn, n, α-βπn, n .

Упростите выражения:

1) 2 sin x cos y-sin ( x+y ) cos ( x+y ) +2 sin x sin y ;

2) 2 sin ( x+y ) cos ( x+y ) +cos ( x-y ) -tg x .

Имеем:

1) 2 sin x cos y-sin ( x+y ) cos ( x+y ) +2 sin x sin y = 2 sin x cos y-sin x cos y-cos x sin y cos x cos y-sin x sin y+2 sin x sin y =

= sin x cos y-cos x sin y cos x cos y+sin x sin y = sin ( x-y ) cos ( x-y ) =tg ( x-y ) ;

2) 2 sin ( x+y ) cos ( x+y ) +cos ( x-y ) -tg x= 2 sin x cos y+2 cos x sin y cos x cos y-sin x sin y+cos x cos y+sin x sin y -tg x=

2( sin x cos y+cos x sin y ) 2 cos x cos y -tg x= sin x cos y cos x cos y + cos x sin y cos x cos y -tg x= = sin x cos x + sin y cos y - sin x cos x = sin y cos y =tg y.

Ответ. 1) tg (x – y); 2) tg y.

Формулы кратного аргумента

Итак, нами получены все формулы сложения для тригонометрических функций. Получим из них прямые следствия, положив в них во всех α = β. sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α= cos 2  α- sin 2  α ; tg 2α= 2tgα 1- tg 2  α , α π 2 +πnα π 4 + πn 2 n ; ctg 2α= ct g 2  α-1 2ctgα , α πn 2 , n . Эти формулы называются формулами двойного угла.

Воспользуется теперь второй из этих формул и основным тригонометрическим тождеством. Получим: cos 2α= cos 2  α- sin 2  α=2 cos 2  α-1=1- sin 2  α , cos 2α=2  cos 2  α-1 , cos 2α=1-2  sin 2  α .

Если же теперь воспользоваться формулой разности квадратов, то получится cos 2α= cos 2  α- sin 2  α=( cos α-sin α ) ( cos α+sin α ) , cos 2α=( cos α-sin α ) ( cos α+sin α ) .

Если в формулах сложения положить, например, β = 2α, то получим формулы кратного аргумента. cos ( α+2α ) =cos α cos 2α-sin α sin 2α=cosα ( 2 cos 2   α-1 ) -2  sin 2  α cos α= =cos α ( 2  cos 2  α-1 ) -2( 1- cos 2  α ) cosα=cosα ( 4  cos 2  α-3 ) . cos 3α=cosα ( 4  cos 2  α-3 ) .

Совершенно аналогично получается формула sin 3α=sin α ( 3-4  sin 2  α ) . Полученные формулы называются формулами кратного аргумента. Аналогично можно получить формулы синуса и косинуса 4α, 5α и т. д.

Вычислите tg x, если tg 2x=2,  3π 2 <x<2π .

Так как 3π 2 <x<2π , то tg x<0 . Имеем: tg 2x= 2 tg x 1-t g 2  x =2 tg x=1-t g 2  x t g 2 x+tg x-1=0 .

Делаем замену t = tg x и получаем уравнение t 2 +t-1=0 , корни которого t 1, 2 = -1± 5 2 . Так как tg x<0 , то нас интересует только отрицательный корень. Следовательно, tg x=- 1+ 5 2 .

Ответ.  tg x=- 1+ 5 2 .

Упростите выражение cos 3x cos x - sin 3x sin x .

cos 3x cos x - sin 3x sin x = cos x ( 4  cos 2  x-3 ) cos x - sin x ( 3- sin 2  x ) sin x = cos 2  x-3-3+ sin 2  x= =4( cos 2  x+ sin 2  x ) -6=4-6=-2.

Ответ. −2.

Универсальная подстановка

Перепишем теперь формулу синуса двойного угла в следующем виде: sin 2α= 2 sin α cos α 1 = 2 sin α cos α sin 2  α+ cos 2  α = 2 sin α cos α cos 2  α sin 2  α cos 2  α + cos 2  α cos 2  α = 2 tg α 1+t g 2  α , sin 2α= 2tgα 1+ tg 2  α , α π 2 +πnn .

Аналогично можно поступить с косинусом двойного угла. Получается cos 2α= 1-t g 2  α 1+t g 2  α , α π 2 +πn, n . Разделив последнюю формулу на предпоследнюю, имеем: ctg 2α= 1-t g 2  α 2tgα , α πn 2 , n . Последние три формулы и формулу тангенса двойного угла часто записывают в следующем виде: sin α= 2 tg  α 2 1+t g 2   α 2 , απ+2πnn ,
cos α= 1-t g 2   α 2 1+t g 2   α 2 απ+2πnn ,
ctg α= 1-t g 2   α 2 2tg α 2 απ+2πnn ,
tg α= 2tg α 2 1-t g 2   α 2 απ+2πnn .

Эти формулы показывают, что все основные тригонометрические функции могут быть рационально выражены через t=tg  α 2 , а именно: sin α= 2t 1+ t 2 ,
cos α= 1- t 2 1+ t 2 ,
tg α= 2t 1- t 2 ,
ctg α= 1- t 2 2t .

Говорят, что замена t=tg  α 2 является универсальной подстановкой для основных тригонометрических функций.

Формулы понижения степени

Из формулы косинуса двойного угла cos 2α= cos 2  α- sin 2  α= cos 2  α-1=1- sin 2  α следуют формулы понижения степени: cos 2  α= 1+cos 2α 2 ,
sin 2  α= 1-cos 2α 2 .

Формулы половинного аргумента

Если в последних формулах заменить α на α 2 , то получатся формулы половинного аргумента: cos 2   α 2 = 1+cos α 2 ,
sin 2   α 2 = 1-cos α 2 ,
t g 2   α 2 = 1-cos α 1+cos α , απ( 2n+1 ) , n ,
ct g 2   α 2 = 1+cos α 1-cos α α2πnn .

Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для тангенса и котангенса. А именно: tg  α 2 = sin  α 2 cos  α 2 = sin  α 2  cos  α 2 cos 2   α 2 = sin  α 2   cos  α 2 cos 2   α 2 = sin α 1+cos α ,
tg  α 2 = sin α 1+cos α .

Совершенно аналогично получается формула ctg  α 2 = 1+cos α sin α = sin α 1-cos α .

Преобразование произведения в сумму

Запишем теперь две формулы сложения: cos ( α+β ) =cos α cos β-sin α sin β ,
cos ( α-β ) =cos α cos β+sin α sin β .
Сложим их: cos α cos β= 1 2 [ cos ( α-β ) +cos ( α+β ) ] . Вычтем их: sin α sin β= 1 2 [ cos ( α-β ) -cos ( α-β ) ] .

Если рассмотреть две другие формулы сложения: sin ( α+β ) =sin α cos β+cos α sin β ,
sin ( α-β ) =sin α cos β-cos α sin β
и сложить их, то получится sin α cos β= 1 2 [ sin ( α-β ) +sin ( α+β ) ] .

Три полученные формулы называются формулами преобразования произведения в сумму.

Преобразование суммы в произведение

Перепишем первую из полученных формул преобразования произведения в сумму в виде cos ( α-β ) +cos ( α+β ) =2 cos α cos β .

Сделаем замену переменных: x = α – β, y = α + β. Из этой замены следует, что α= x+y 2 и β= y-x 2 , и последняя формула имеет вид cos x+cos y=2cos x+y 2   cos  x-y 2 .

Совершенно аналогично получаются другие формулы преобразования суммы в произведение. cos x-cosy=-2sin x+y 2   sin  x-y 2 ,
sin x+sin y=2sin x+y 2   cos  x-y 2 ,
sin x-sin y=2cos x+y 2   sin  x-y 2 .

Упростите выражения

1) 2  cos 2  2x+cos 5x-1 sin 5x+2cos2xsin2x ;

2) cos 2  x+ cos 2  y-cos ( x+y ) cos ( x-y ) .

Имеем:

1) cos 2  2x+cos 5x-1 sin5x+2cos2xsin2x = cos 4x+cos 5x sin 5x+sin 4x = 2cos 9x 2   cos  x 2 2sin 9x 2   cos  x 2 = cos  9x 2 sin  9x 2 =ctg  9x 2 .

2) cos 2  x+ cos 2  y-cos ( x+y )  cos ( x-y ) =

cos 2  x+ cos 2  y- 1 2 [ cos ( x+y-x+y ) +cos ( x+y+x-y ) ]= cos 2  x+ cos 2  y- 1 2 [ cos 2y+cos 2x ]= cos 2 x+ cos 2 y- 1 2 [ 2  cos 2   x-1+2  cos 2  y-1 ]= cos 2  x+ cos 2  y- cos 2   x+ 1 2 - cos 2   y+ 1 2 = 1 2 + 1 2 =1.

Ответ. 1) ctg 9x 2 ; 2) 1.





 


© Физикон, 1999-2015