Открытая Математика. Алгебра. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Формулы приведения

Прежде всего, получим формулы, по которым тригонометрические функции углов вида $\frac{π n}{2} \pm α$ можно выражать через тригонометрические функции угла α. Эти формулы называются формулами приведения.

Отложим от положительного направления оси абсцисс угол α (см. рис. 2.4.2.1). Отразим точку A, отвечающую этому углу, относительно прямой y = x. Пусть она при отражении перейдёт в точку B. Так как координатные оси тоже симметричны относительно прямой y = x, то угол между осью ординат и радиус-вектором $\overset{⟶}{O B}$ равен α.

Несложно сообразить, что угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором $\overset{⟶}{O B}$ равен $\frac{π}{2} - α .$ Пусть координаты радиус-вектора $\overset{⟶}{O A}$ будут (x; y), а координаты радиус-вектора $\overset{⟶}{O B}$ будут (x'; y'). Так как при отражении относительно прямой y = x ось абсцисс переходит в ось ординат, то абсцисса радиус-вектора $\overset{⟶}{O A}$ станет ординатой радиус-вектора $\overset{⟶}{O B}$ и наоборот. Следовательно, x = y', y = x'. Но координаты x и y можно найти с помощью угла α: x = cos α, y = sin α. Аналогичные формулы связывают координаты радиус-вектора $\overset{⟶}{O B} :$ $x' = cos (\frac{π}{2} - α), y' = sin (\frac{π}{2} - α) .$

Так как x = y' и y = x', то получаем: $cos (\frac{π}{2} - α) = sin α,$ $sin (\frac{π}{2} - α) = cos α .$

Рассмотрим радиус-вектор $\overset{⟶}{O A_{1}},$ угол между которым и осью абсцисс равен –α. Очевидно, что координаты этого радиус-вектора равны (x; –y). Но абсцисса и ордината этого вектора есть синус и косинус угла –α. Следовательно, $cos (- α) = cos α,$ $sin (- α) = - sin α .$

Отсюда легко получить, что $tg (- α) = \frac{sin (- α)}{cos (- α)} = \frac{- sin α}{cos α} = - tg α,$ $ctg (- α) = \frac{cos (- α)}{sin (- α)} = \frac{- cos α}{sin α} = - ctg α .$

Последние равенства означают, что функции синус, тангенс и котангенс − нечётные, а функция косинус − чётная.

Заменим в формулах $cos (\frac{π}{2} - α) = sin α$ и $sin (\frac{π}{2} - α) = cos α$ угол α на –α. Имеем $cos (\frac{π}{2} - (- α)) = sin (- α) = - sin α, sin (\frac{π}{2} - (- α)) = cos (- α) = cos α .$

Итак, доказано, что $cos (\frac{π}{2} + α) = - sin α,$ $sin (\frac{π}{2} + α) = cos α .$

Выполним следующие преобразования: $sin (π + α) = sin (\frac{π}{2} + (\frac{π}{2} + α)) = cos (\frac{π}{2} + α) = - sin α,$ $sin (π - α) = sin (\frac{π}{2} + (\frac{π}{2} - α)) = cos (\frac{π}{2} - α) = sin α .$

Итак, $sin (π + α) = - sin α,$ $sin (π - α) = sin α .$

Аналогично доказываются формулы: $cos (π + α) = - cos α,$ $cos (π - α) = - cos α .$

Из последних формул следует, что $sin (\frac{3 π}{2} + α) = - cos α,$ $sin (\frac{3 π}{2} - α) = - cos α,$ $cos (\frac{3 π}{2} + α) = sin α,$ $cos (\frac{3 π}{2} - α) = - sin α,$ $sin (2 π - α) = - sin α,$ $cos (2 π - α) = cos α .$

Учтём теперь, что $tg α = \frac{sin α}{cos α},$ $ctg α = \frac{cos α}{sin α} .$

Тогда из вышеприведённых формул следует: $tg (\frac{π}{2} - α) = ctg α,$ $ctg (\frac{π}{2} - α) = tg α,$ $tg (\frac{π}{2} + α) = - ctg α,$ $ctg (\frac{π}{2} + α) = - tg α,$ $tg (π - α) = - tg α,$ $ctg (π - α) = - ctg α .$

Запишем все формулы приведения в виде таблицы.

$α$	$π + α$	$π - α$	$2 π + α$	$2 π - α$	$\frac{π}{2} + α$	$\frac{π}{2} - α$	$\frac{3 π}{2} + α$	$\frac{3 π}{2} - α$
$sin α$	$- sin α$	$sin α$	$sin α$	$- sin α$	$cos α$	$cos α$	$- cos α$	$- cos α$
$cos α$	$- cos α$	$- cos α$	$cos α$	$cos α$	$- sin α$	$sin α$	$sin α$	$- sin α$
$tg α$	$tg α$	$- tg α$	$tg α$	$- tg α$	$- ctg α$	$ctg α$	$- ctg α$	$ctg α$
$ctg α$	$ctg α$	$- ctg α$	$ctg α$	$- ctg α$	$- tg α$	$tg α$	$- tg α$	$tg α$

Упростите выражение:

$\frac{2 cos (\frac{π}{2} - x) sin (\frac{π}{2} + x) tg (π - x)}{ctg (\frac{π}{2} + x) sin (π - x)} .$

Имеем:

$\frac{2 cos (\frac{π}{2} - x) sin (\frac{π}{2} + x) tg (π - x)}{ctg (\frac{π}{2} + x) sin (π - x)} = \frac{2 sin x cos x (- tg x)}{- tg x sin x} = 2 cos x .$

Ответ: 2 cos x.

Основные формулы

Обратимся снова к тригонометрической окружности.

Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем: $O C^{2} + C A^{2} = O A^{2} .$

Но OA = 1, OC = cos α, CA = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство

{sin}^{2} α + {cos}^{2} α = 1 .

Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Отсюда следует, что $cos α = ± \sqrt{1 - {sin}^{2} α},$ $sin α = ± \sqrt{1 - {cos}^{2} α} .$

Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.

Разделим основное тригонометрическое тождество на ${cos}^{2} α \neq 0 .$ Получим: $1 + t g^{2} α = \frac{1}{{cos}^{2} α}, α \neq π n, n \in ℤ .$

Разделим основное тригонометрическое тождество на ${sin}^{2} α \neq 0 .$ Получим: $1 + c t g^{2} α = \frac{1}{{sin}^{2} α}, α \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ .$

Из определений тангенса и котангенса $tg α = \frac{sin α}{cos α}, ctg α = \frac{cos α}{sin α}$ следует: $tg α ċ ctg α = 1, α \neq \frac{π n}{2}, n \in ℤ .$

Найдите sin x и cos x, если $tg x = \frac{5}{12}$ и $π < x < \frac{3 π}{2} .$

Так как $π < x < \frac{3 π}{2},$ то sin x < 0 и cos x < 0. Имеем: $\frac{1}{{cos}^{2} x} = 1 + t g^{2} x = 1 + {(\frac{5}{12})}^{2} = \frac{12^{2} + 5^{2}}{12^{2}} = \frac{13^{2}}{12^{2}} = {(\frac{13}{12})}^{2} \Rightarrow {cos}^{2} x = {(\frac{12}{13})}^{2} \Rightarrow cos x = - \frac{12}{13} .$ $sin x = cos x ċ tg x = - \frac{12}{13} ċ \frac{5}{12} = - \frac{5}{13} .$

Ответ. $sin x = - \frac{5}{13}, cos x = - \frac{12}{13} .$

Упростить выражение: $\frac{sin (π + x) cos (π - x) - tg (\frac{π}{2} - x)}{1 - {(sin (\frac{π}{2} + x) + sin (π - x))}^{2}} .$

$\begin{array}{l} \frac{sin (π + x) cos (π - x) - tg (\frac{π}{2} - x)}{1 - {(sin (\frac{π}{2} + x) + sin (π - x))}^{2}} = \frac{- sin x (- cos x) - ctg x}{1 - {(cos x + sin x)}^{2}} = \end{array}$

$= \frac{sin x cos x - ctg x}{1 - {cos}^{2} x - {sin}^{2} x - 2 sin x cos x} = \frac{sin x cos x - ctg x}{- 2 sin x cos x} = - \frac{1}{2} + \frac{\frac{sin x}{cos x}}{2 sin x cos x} =$

$= \frac{1}{2} (\frac{1}{{cos}^{2} x} - 1) = \frac{1}{2} t g^{2} x .$

Ответ: $\frac{1}{2} t g^{2} x .$

Формулы сложения

Для вывода формул сложения для тригонометрических функций рассмотрим тригонометрическую окружность и два радиус-вектора $\overset{⟶}{O A}$ и $\overset{⟶}{O B},$ отвечающих углам α и –β (см. рис. 2.4.2.3).

Координаты этих векторов по определению тригонометрических функций равны: $\overset{⟶}{O A} (cos α; sin α), \overset{⟶}{O B} (cos β; - sin β) .$ Поскольку это радиус-векторы, то их длины равны 1. Вычислим скалярное произведение этих векторов двумя способами:

1. По определению. $\overset{⟶}{O A} ċ \overset{⟶}{O B} = | \overset{⟶}{O A} | ċ | \overset{⟶}{O B} | ċ cos (α + β) = 1 ċ 1 ċ cos (α + β) = cos (α + β),$ поскольку угол между единичными векторами $\overset{⟶}{O A}$ и $\overset{⟶}{O B}$ равен α + β.

2. Через координаты. Имеем: $\overset{⟶}{O A} ċ \overset{⟶}{O B} = cos α cos β - sin α sin β .$

Итак, получена следующая формула сложения: $cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β .$

Заменим в этой формуле β на –β. Получим ещё одну формулу. $cos (α - β) = cos α cos (- β) - sin α sin (- β) = cos α cos β + sin α sin β,$ $cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β .$

Имеем: $\begin{array}{l} sin (α + β) = cos (\frac{π}{2} - (α + β)) = cos (\frac{π}{2} - α - β) = cos ((\frac{π}{2} - α) - β) = \\ = cos (\frac{π}{2} - α) cos β + sin (\frac{π}{2} - α) sin β = sin α cos β + cos α sin β . \end{array}$ Значит, $sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .$

Заменим в этой формуле β на –β, получим ещё одну формулу. $sin (α - β) = sin α cos (- β) - cos α sin (- β) = sin α cos β - cos α sin β,$ $sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β .$

Из этих формул непосредственно следует, что $tg (α + β) = \frac{sin (α + β)}{cos (α + β)} = \frac{sin α cos β + cos α sin β}{cos α cos β - sin α sin β} = \frac{\frac{sin α cos β}{cos α cos β} + \frac{cos α sin β}{cos α cos β}}{\frac{cos α cos β}{cos α cos β} - \frac{sin α sin β}{cos α cos β}} = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α tg β},$ $tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α tg β} .$ Последняя формула справедлива при $α \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ, β \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ, α + β \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ .$

ctg (α + β) = \frac{cos (α + β)}{sin (α + β)} = \frac{cos α cos β - sin α sin β}{sin α cos β + cos α sin β} = \frac{\frac{cos α cos β}{sin α sin β} - \frac{sin α sin β}{sin α sin β}}{\frac{sin α cos β}{sin α sin β} + \frac{cos α sin β}{sin α sin β}} = \frac{ctg α ctg β - 1}{ctg α + ctg β},

ctg (α + β) = \frac{ctg α ctg β - 1}{ctg α + ctg β} .

Эта формула справедлива при $α \neq π n, n \in ℤ, β \neq π n, n \in ℤ, α + β \neq π n, n \in ℤ .$

Заменяя в последних формулах β на –β, получим ещё две формулы: $tg (α - β) = \frac{tg α + tg (- β)}{1 - tg α tg (- β)} = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α tg β},$ $tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α tg β} .$ Последняя формула справедлива при $α \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ, β \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ, α - β \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ .$

ctg (α - β) = \frac{ctg α ctg (- β) - 1}{ctg α + ctg (- β)} = - \frac{ctg α ctg β + 1}{ctg α - ctg β},

ctg (α - β) = - \frac{ctg α ctg β + 1}{ctg α - ctg β} .

Эта формула справедлива при $α \neq π n, n \in ℤ, β \neq π n, n \in ℤ, α - β \neq π n, n \in ℤ .$

Упростите выражения:

1) $\frac{2 sin x cos y - sin (x + y)}{cos (x + y) + 2 sin x sin y};$

2) $\frac{2 sin (x + y)}{cos (x + y) + cos (x - y)} - tg x .$

Имеем:

1) $\frac{2 sin x cos y - sin (x + y)}{cos (x + y) + 2 sin x sin y} = \frac{2 sin x cos y - sin x cos y - cos x sin y}{cos x cos y - sin x sin y + 2 sin x sin y} =$

$= \frac{sin x cos y - cos x sin y}{cos x cos y + sin x sin y} = \frac{sin (x - y)}{cos (x - y)} = tg (x - y);$

2) $\frac{2 sin (x + y)}{cos (x + y) + cos (x - y)} - tg x = \frac{2 sin x cos y + 2 cos x sin y}{cos x cos y - sin x sin y + cos x cos y + sin x sin y} - tg x =$

$\begin{array}{l} \frac{2 (sin x cos y + cos x sin y)}{2 cos x cos y} - tg x = \frac{sin x cos y}{cos x cos y} + \frac{cos x sin y}{cos x cos y} - tg x = \\ = \frac{sin x}{cos x} + \frac{sin y}{cos y} - \frac{sin x}{cos x} = \frac{sin y}{cos y} = tg y . \end{array}$

Ответ. 1) tg (x – y); 2) tg y.

Формулы кратного аргумента

Итак, нами получены все формулы сложения для тригонометрических функций. Получим из них прямые следствия, положив в них во всех α = β. sin 2α = 2 sin α cos α; $cos 2 α = {cos}^{2} α - {sin}^{2} α;$ $tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}, α \neq \frac{π}{2} + π n, α \neq \frac{π}{4} + \frac{πn}{2}, n \in ℤ;$ $ctg 2 α = \frac{c t g^{2} α - 1}{2 ctg α}, α \neq \frac{πn}{2}, n \in ℤ .$ Эти формулы называются формулами двойного угла.

Воспользуется теперь второй из этих формул и основным тригонометрическим тождеством. Получим: $cos 2 α = {cos}^{2} α - {sin}^{2} α = 2 {cos}^{2} α - 1 = 1 - 2 {sin}^{2} α,$ $cos 2 α = 2 {cos}^{2} α - 1,$ $cos 2 α = 1 - 2 {sin}^{2} α .$

Если же теперь воспользоваться формулой разности квадратов, то получится $cos 2 α = {cos}^{2} α - {sin}^{2} α = (cos α - sin α) (cos α + sin α),$ $cos 2 α = (cos α - sin α) (cos α + sin α) .$

Если в формулах сложения положить, например, β = 2α, то получим формулы кратного аргумента. $\begin{array}{l} cos (α + 2 α) = cos α cos 2 α - sin α sin 2 α = cos α (2 {cos}^{2} α - 1) - 2 {sin}^{2} α cos α = \\ = cos α (2 {cos}^{2} α - 1) - 2 (1 - {cos}^{2} α) cos α = cos α (4 {cos}^{2} α - 3) . \end{array}$ $cos 3 α = cos α (4 {cos}^{2} α - 3) .$

Совершенно аналогично получается формула $sin 3 α = sin α (3 - 4 {sin}^{2} α) .$ Полученные формулы называются формулами кратного аргумента. Аналогично можно получить формулы синуса и косинуса 4α, 5α и т. д.

Вычислите tg x, если $tg 2 x = 2, \frac{3 π}{2} < x < 2 π .$

Так как $\frac{3 π}{2} < x < 2 π,$ то $tg x < 0 .$ Имеем: $tg 2 x = \frac{2 tg x}{1 - t g^{2} x} = 2 \Leftrightarrow tg x = 1 - t g^{2} x \Leftrightarrow t g^{2} x + tg x - 1 = 0 .$

Делаем замену t = tg x и получаем уравнение $t^{2} + t - 1 = 0,$ корни которого $t_{1, 2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2} .$ Так как $tg x < 0,$ то нас интересует только отрицательный корень. Следовательно, $tg x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} .$

Ответ. $tg x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} .$

Упростите выражение $\frac{cos 3 x}{cos x} - \frac{sin 3 x}{sin x} .$

\begin{array}{l} \frac{cos 3 x}{cos x} - \frac{sin 3 x}{sin x} = \frac{cos x (4 {cos}^{2} x - 3)}{cos x} - \frac{sin x (3 - 4 {sin}^{2} x)}{sin x} = 4 {cos}^{2} x - 3 - 3 + 4 {sin}^{2} x = \\ = 4 ({cos}^{2} x + {sin}^{2} x) - 6 = 4 - 6 = - 2. \end{array}

Ответ. −2.

Универсальная подстановка

Перепишем теперь формулу синуса двойного угла в следующем виде: $sin 2 α = \frac{2 sin α cos α}{1} = \frac{2 sin α cos α}{{sin}^{2} α + {cos}^{2} α} = \frac{\frac{2 sin α cos α}{{cos}^{2} α}}{\frac{{sin}^{2} α}{{cos}^{2} α} + \frac{{cos}^{2} α}{{cos}^{2} α}} = \frac{2 tg α}{1 + t g^{2} α},$ $sin 2 α = \frac{2 tg α}{1 + {tg}^{2} α}, α \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ .$

Аналогично можно поступить с косинусом двойного угла. Получается $cos 2 α = \frac{1 - t g^{2} α}{1 + t g^{2} α}, α \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ .$ Разделив последнюю формулу на предпоследнюю, имеем: $ctg 2 α = \frac{1 - t g^{2} α}{2 tg α}, α \neq \frac{π n}{2}, n \in ℤ .$ Последние три формулы и формулу тангенса двойного угла часто записывают в следующем виде: $sin α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 + t g^{2} \frac{α}{2}}, α \neq π + 2 π n, n \in ℤ,$
$cos α = \frac{1 - t g^{2} \frac{α}{2}}{1 + t g^{2} \frac{α}{2}}, α \neq π + 2 π n, n \in ℤ,$
$ctg α = \frac{1 - t g^{2} \frac{α}{2}}{2 tg \frac{α}{2}}, α \neq π + 2 π n, n \in ℤ,$
$tg α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 - t g^{2} \frac{α}{2}}, α \neq π + 2 π n, n \in ℤ .$

Эти формулы показывают, что все основные тригонометрические функции могут быть рационально выражены через $t = tg \frac{α}{2},$ а именно: $sin α = \frac{2 t}{1 + t^{2}},$
$cos α = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}},$
$tg α = \frac{2 t}{1 - t^{2}},$
$ctg α = \frac{1 - t^{2}}{2 t} .$

Говорят, что замена $t = tg \frac{α}{2}$ является универсальной подстановкой для основных тригонометрических функций.

Формулы понижения степени

Из формулы косинуса двойного угла $cos 2 α = {cos}^{2} α - {sin}^{2} α = 2 {cos}^{2} α - 1 = 1 - 2 {sin}^{2} α$ следуют формулы понижения степени: ${cos}^{2} α = \frac{1 + cos 2 α}{2},$
${sin}^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2} .$

Формулы половинного аргумента

Если в последних формулах заменить α на $\frac{α}{2},$ то получатся формулы половинного аргумента: ${cos}^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 + cos α}{2},$
${sin}^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{2},$
$t g^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{1 + cos α}, α \neq π (2 n + 1), n \in ℤ,$
$c t g^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 + cos α}{1 - cos α}, α \neq 2 π n, n \in ℤ .$

Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для тангенса и котангенса. А именно: $tg \frac{α}{2} = \frac{sin \frac{α}{2}}{cos \frac{α}{2}} = \frac{sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}}{{cos}^{2} \frac{α}{2}} = \frac{2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}}{2 {cos}^{2} \frac{α}{2}} = \frac{sin α}{1 + cos α},$
$tg \frac{α}{2} = \frac{sin α}{1 + cos α} .$

Совершенно аналогично получается формула $ctg \frac{α}{2} = \frac{1 + cos α}{sin α} = \frac{sin α}{1 - cos α} .$

Преобразование произведения в сумму

Запишем теперь две формулы сложения: $cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β,$
$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β .$ Сложим их: $cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α - β) + cos (α + β)] .$ Вычтем их: $sin α sin β = \frac{1}{2} [cos (α - β) - cos (α - β)] .$

Если рассмотреть две другие формулы сложения: $sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β,$
$sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β$ и сложить их, то получится $sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α - β) + sin (α + β)] .$

Три полученные формулы называются формулами преобразования произведения в сумму.

Преобразование суммы в произведение

Перепишем первую из полученных формул преобразования произведения в сумму в виде $cos (α - β) + cos (α + β) = 2 cos α cos β .$

Сделаем замену переменных: x = α – β, y = α + β. Из этой замены следует, что $α = \frac{x + y}{2}$ и $β = \frac{y - x}{2},$ и последняя формула имеет вид $cos x + cos y = 2 cos \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2} .$

Совершенно аналогично получаются другие формулы преобразования суммы в произведение. $cos x - cos y = - 2 sin \frac{x + y}{2} sin \frac{x - y}{2},$
$sin x + sin y = 2 sin \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2},$
$sin x - sin y = 2 cos \frac{x + y}{2} sin \frac{x - y}{2} .$

Упростите выражения

1) $\frac{2 {cos}^{2} 2 x + cos 5 x - 1}{sin 5 x + 2 cos 2 x sin 2 x};$

2) ${cos}^{2} x + {cos}^{2} y - cos (x + y) cos (x - y) .$

Имеем:

1) $\frac{2 {cos}^{2} 2 x + cos 5 x - 1}{sin 5 x + 2 cos 2 x sin 2 x} = \frac{cos 4 x + cos 5 x}{sin 5 x + sin 4 x} = \frac{2 cos \frac{9 x}{2} cos \frac{x}{2}}{2 sin \frac{9 x}{2} cos \frac{x}{2}} = \frac{cos \frac{9 x}{2}}{sin \frac{9 x}{2}} = ctg$ $\frac{9 x}{2} .$

2) ${cos}^{2} x + {cos}^{2} y - cos (x + y) cos (x - y) =$

$\begin{array}{l} {cos}^{2} x + {cos}^{2} y - \frac{1}{2} [cos (x + y - x + y) + cos (x + y + x - y)] = \\ {cos}^{2} x + {cos}^{2} y - \frac{1}{2} [cos 2 y + cos 2 x] = {cos}^{2} x + {cos}^{2} y - \frac{1}{2} [2 {cos}^{2} x - 1 + 2 {cos}^{2} y - 1] = \\ {cos}^{2} x + {cos}^{2} y - {cos}^{2} x + \frac{1}{2} - {cos}^{2} y + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. \end{array}$

Ответ. 1) $ctg \frac{9 x}{2};$ 2) 1.

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ