Учебник. Показательная функция

В § 2.2.4 мы определили значение выражения a^x для всех a > 0 и всех x. Если a = 1, то a^x = 1 при всех x. Следовательно, при a > 0, a ≠ 1, определена функция y = a^x, отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a. К основным свойствам показательной функции y = a^x при a > 1 относятся:

1. Область определения функции − вся числовая прямая.
2. Область значений функции − промежуток $\mathrm{(}0\mathrm{;}+\infty \mathrm{)}\text{.}$
3. Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если $x_1<x_2$ то $a^{x_1}<a^{x_1}$
4. График показательной функции с основанием a > 1 изображён на рисунке.

Функция y = a^x при a > 1

Функция y = a^x при 0 < a < 1

1. Область определения функции − вся числовая прямая.
2. Область значений функции − промежуток $\mathrm{(}0\mathrm{;}+\infty \mathrm{)}\text{.}$
3. Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть, если $x_1<x_2$ то $a^{x_1}>a^{x_2}$
4. График показательной функции с основанием 0 < a < 1 изображён на рисунке.

К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при a > 1 относятся:

1. $a^{x_1}ċa^{x_2}=a^{x_1+x_2}$ для всех $x_1$ и $x_2$
2. ${\left(a^{x_1}\right)}^{x_2}=a^{x_1ċx_2}$ для всех $x_1$ и $x_2$
3. $a^{\mathrm{-}x}={\left(a^x\right)}^{\mathrm{-}1}=\frac{1}{a^x}$ для любого x.
4. $\sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}$ для любого x и любого $n\in \mathbb{N}\mathrm{,}n\ne 1.$
5. (ab)^x = a^xb^x для любых a, b > 0, a, b ≠ 1.
6. ${\left(\frac{a}{b}\right)}^x=\frac{a^x}{b^x}$ для любых a, b > 0, a, b ≠ 1.
7. $a^{x_1}=a^{x_2}\Rightarrow x_1=x_2\text{.}$

Все эти свойства следуют из свойств операции возведения в степень. Третье и четвёртое свойства являются непосредственным следствием второго. Седьмое свойство следует из строгой монотонности показательной функции и даёт способ решения простейших показательных уравнений.