Открытая Математика. Алгебра. Степень с целым показателем

Степень с целым показателем

В § 1.1.2 было определено понятие степени натурального числа с натуральным показателем. Обобщим это определение на случай произвольного действительного числа.

Пусть a − любое действительное число; n − натуральное число, большее единицы. Назовем n-ной степенью числа a называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Если n = 1, то по определению считают, что a¹ = a. Число a называется основанием степени, число n − показателем степени.

Справедливы следующие свойства степени:

aⁿ ċ a^k = a^{n + k}.
aⁿ : a^k = a^{n – k}, если n > k.
(aⁿ)^k = a^nk.
aⁿ ċ bⁿ = (ab)ⁿ.
$\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}, b \neq 0.$

Например, $3^{3} ċ 3^{2} = 3^{3 + 2} = 3^{5},$ ${(3^{2})}^{4} = 3^{2 ċ 4} = 3^{8},$ ${(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{9}{4} .$

По определению полагают, что a⁰ = 1 для любого a ≠ 0. Нулевая степень числа нуль не определена.

По определению полагают, что если $a \neq 0,$ n − натуральное число, то $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$

Справедливо равенство ${(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n} .$ Например, ${(- 2)}^{- 2} = \frac{1}{{(- 2)}^{2}} = \frac{1}{4}, {(\frac{3}{2})}^{- 1} = \frac{2}{3} .$

Совершенно аналогично вводится понятие степени рациональных выражений. Чтобы возвести рациональную дробь в натуральную степень, нужно отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно − знаменатель: ${(\frac{P}{Q})}^{n} = \frac{P^{n}}{Q^{n}} .$

Преобразовать в дробь степень ${(\frac{2 x^{2}}{x - 1})}^{2} .$

${(\frac{2 x^{2}}{x - 1})}^{2} = \frac{4 x^{4}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{4 x^{4}}{x^{2} - 2 x + 1} .$

Ответ. $\frac{4 x^{4}}{x^{2} - 2 x + 1} .$

Возведение рациональной дроби в отрицательную степень происходит по следующей формуле:

${(\frac{P}{Q})}^{- n} = {(\frac{Q}{P})}^{n} .$

Преобразовать в дробь степень ${(\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{5}}{{(x + 2)}^{3}})}^{- 2} .$

${(\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{5}}{{(x + 2)}^{3}})}^{- 2} = {(\frac{{(x + 2)}^{3}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{5}})}^{2} = \frac{{(x + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{10}} .$

Ответ. $\frac{{(x + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{10}} .$

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Степень с целым показателем

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ