Учебник. Десятичные дроби

Дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и вообще ${10}^n$, может быть записана в виде десятичной дроби.

Например, $\frac{4}{10}=\mathrm{0,4}\text{; }\frac{35}{100}=\mathrm{0,35.}$ Аналогично можно записывать неправильную дробь и смешанное число, например $\frac{314}{100}=\mathrm{3,14}\text{; }4\frac{345}{1000}=\mathrm{4,345}$ По сути, десятичное число – просто удобная форма записи дроби с указанными знаменателями.

Рассмотрим десятичную дробь 3,1415. Имеем: $\mathrm{3,1415}=3\frac{1415}{10000}=3+\frac{1000+400+10+5}{10000}=3+\frac{1}{10}+\frac{4}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{5}{10000}\mathrm{.}$

Таким образом, в десятичной дроби 3,1415 содержится 3 единицы, 1 десятая, 4 сотых, 1 тысячная, 5 десятитысячных. Вообще, в десятичной дроби может быть сколько угодно разрядов: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные, стотысячные и т. д.

Рассмотренную дробь можно записать так: $\mathrm{3,1415}=3\frac{1415}{10000}=3\frac{14150}{100000}=3\frac{141500}{1000000}\text{.}$ Но $3\frac{14150}{100000}=\mathrm{3,14150,}$  а $3\frac{141500}{1000000}=\mathrm{3,141500.}$ Таким образом, десятичная дробь не изменится, если к ней справа приписать любое количество нулей.

Ясно, что верно и обратное: десятичная дробь не изменится, если отбросить нули, стоящие справа в конце неё. Например, $\mathrm{3,010401050000}=\mathrm{3,01040105}$ (нули, не стоящие в конце числа, отбрасывать нельзя).

Перечислим, как с десятичными числами можно проводить известные нам арифметические операции.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Сложение и вычитание. Сложение и вычитание десятичных чисел производится точно так же, как сложение и вычитание целых чисел, нужно только записывать одноимённые разряды один под одним. Например,

Умножение. Умножение десятичных дробей проводится следующим образом. Перемножаем данные числа, как целые, не обращая внимания на запятые. Затем ставим в произведении запятую по следующему правилу: число знаков после запятой в произведении равно сумме чисел знаков после запятой во всех сомножителях. Заметим, что до постановки запятой отбрасывать знаки нельзя.

Умножение и деление десятичных дробей

Вычислить 0,225 ċ 0,04.

225 ċ 4 = 900. Число знаков после запятой должно быть 3 + 2 = 5. Приписывая к 900 нули слева (00900), отделяем справа пять знаков. Получаем 0,09. Итак, 0,225 ċ 0,04 = 0,09.

В частности, из этого правила следует, что десятичная дробь увеличится в 10, 100, 1000 и т. д. раз, если запятую перенести через один, два, три и т. д. разряда вправо.

Число 34,0945876 увеличится в 1000 раз, если мы напишем 34094,5876.

Десятичная дробь уменьшится в 10, 100, 1000 и т. д. раз, если запятую перенести через один, два, три и т. д. разряда влево.

Число 3409458,76 уменьшится в 100 раз, если мы напишем 34094,5876.

Деление. Деление десятичной дроби на натуральное число производится так же, как и натурального числа на натуральное. Запятую в частном ставят после того, как закончено деление целой части.

Разделить 18,75 : 15.

Итак, 18,75 : 15 = 1,25.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых.

Разделить 0,806 : 31.

Итак, 0,806 : 31 = 0,026.

Для того чтобы разделить десятичную дробь (или целое число) на десятичное дробь, нужно отбросить запятую в делителе; в делимом же переносим запятую вправо на столько знаков, сколько их было в дробной части делителя (в случае необходимости в конце делимого приписывают нули). После чего делим полученное число на натуральное.

Разделить 9,43 : 0,23.

Итак, 9,43 : 0,23 = 41.

 

Пусть дана некоторая десятичная дробь, например 34,2741. Если приписать справа (после запятой) к ней любое число нулей, то, как известно, значение этой дроби не изменится:

Допустима также запись этой дроби с бесконечным количеством нулей: 34,274100...

Если у десятичной дроби после запятой содержится бесконечно много знаков, то такая дробь называется бесконечной десятичной дробью. Справедлива важная теорема:

Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Рассмотрим, например, дробь $\frac{3}{17}$ и будем делить числитель на знаменатель, постепенно получая десятичные знаки. При этом для нас будет важным то, что число 2 можно представить в виде 2,000...

Получаем:

Значит, $\frac{3}{17}=\text{0,(1764705882352941).}$

Если записать последовательно все получающиеся при этом делении остатки, то получится:

13, 11, 8, 12, 10, 15, 14, 4, 6, 9, 5, 16, 7, 2, 3, 13, ...

Понятно, что все эти остатки меньше делителя, то есть 17; это означает, что на некотором шаге должен появиться остаток, который уже встречался раньше. После этого остатки, а значит и цифры в десятичной записи частного, будут повторяться. В нашем примере это происходит на 16 шаге и, начиная с 17-й, все цифры повторяются. Такая повторяющаяся группа цифр называется периодом. Для краткости период часто пишут в круглых скобках:

$\frac{3}{17}=\text{0,(1764705882352941).}$

Если период начинается сразу после запятой, как в нашем примере, то дробь называется чисто периодической. Если же период не начинается сразу после запятой, а ему предшествуют несколько цифр, то такая десятичная дробь называется смешанной периодической. Например, 0,234(2837468).

Обыкновенные и десятичные дроби

Оказывается, что можно провести и обратную операцию, а именно, по любой десятичной дроби найти обыкновенную дробь, ей равную. Как это делается, покажем на примере.

Обратить в обыкновенную дробь число 0,(15).

Обозначим искомую дробь через x: x = 0,(15). Умножим x на такое число, кратное 10, чтобы запятая переместилась ровно на период. В нашем случае нужно x умножить на 100. Имеем
$100x=\mathrm{15,}\text{(}15\text{)}=15+\mathrm{0,}\text{(}15\text{)}=15+x\text{.}$
Значит, 100x = 15 + x, то есть 99x = 15. Следовательно,
$x=\frac{15}{99}\text{.}$
Это и есть представление заданного числа в виде обыкновенной дроби. Выполняя сокращение: $x=\frac{15}{99}=\frac{5}{33}$ получаем:

Ответ. $x=\frac{5}{33}\text{.}$

Обратить в обыкновенную дробь число 2,14(21).

Обозначим искомую дробь через x: x = 2,14(21). Ясно, что число x можно представить в виде x = 2,14 + 0,01 ∙ 0,(21).

По определению десятичной дроби имеем: $\mathrm{2,14}=\frac{214}{100}=\frac{107}{50}\mathrm{,}$ $\mathrm{0,01}=\frac{1}{100}\mathrm{.}$

Перевод числа y = 0,(21) в обыкновенную дробь выполним как в предыдущем примере: $100y=\mathrm{21,}\left(21\right)=21+y\Rightarrow 99y=21\Rightarrow y=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}\mathrm{.}$

Окончательно получаем: $x=\frac{107}{50}+\frac{1}{100}ċ\frac{7}{33}=\frac{214}{100}+\frac{7}{3300}=\frac{214ċ33+7}{3300}=\frac{7069}{3300}\mathrm{.}$

Ответ: $\frac{7069}{3300}\mathrm{.}$

Все дроби вида m/n, где m – целое число, а n – натуральное, могут быть представлены в виде конечных или периодических десятичных дробей.

Целые числа, конечные и периодические десятичные дроби (положительные и им противоположные, которые называются отрицательными дробями) составляют множество рациональных чисел. Множество рациональных чисел обозначается $\mathbb{Q}$

Выясним, как можно сравнивать десятичные дроби. Из всего вышесказанного следует, что сумма, разность, произведение и частное двух десятичных дробей снова будут десятичной дробью.

Говорят, что десятичная дробь a больше другой десятичной дроби b, и обозначают этот факт так: a > b, если разность a – b – положительное число. Говорят, что десятичная дробь a меньше другой десятичной дроби b, и обозначают этот факт так: a < b, если разность (a – b) – отрицательное число. На десятичные дроби совершенно аналогично переносятся понятия отношений ≤ и ≥. Также сохраняется геометрическая интерпретация чисел. Так дроби $\frac{11}{4}=2\frac{3}{4}$ соответствует точка на числовой оси, которую можно получить следующим образом: нужно отложить вправо от начала координат единичный отрезок два раза, затем отложить ещё $\frac{3}{4}$ длины этого отрезка. Если рассмотреть точку, симметричную данной относительно начала координат, то получим точку, которая соответствует числу $\mathrm{-}2\frac{3}{4}\text{.}$

Аналогично можно поступить с десятичными дробями. Так, десятичному числу 3,14 отвечает точка на координатной прямой, которая получается следующим образом. Нужно от начала координат отложить три раза единичный отрезок, после отложить один раз отрезок длины $\frac{1}{10}$ от единичного; затем отложить отрезок длины $\frac{4}{100}$ единичного. Полученная точка и соответствует числу 3,14.