Учебник. Обыкновенные дроби

Можно еще больше расширить числовое множество – так, чтобы операция деления над натуральными числами была выполнима всегда. Для этого введем понятие дроби.

Если n = 1, то дробь имеет вид $\frac{m}{1}$ и её часто записывают просто m. Отсюда, в частности, следует, что любое натуральное число представимо в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Например, $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$ так как $2ċ12=3ċ8.$ Из этого определения следует, что дробь $\frac{a}{b}$ равна любой дроби вида $\frac{am}{bm}\text{,}$ где m – натуральное число. В самом деле, так как $aċbm=bċam\text{,}$ то $\frac{a}{b}=\frac{am}{bm}\text{.}$   Итак, мы готовы сформулировать следующее правило.

С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая замена называется сокращением дроби. Например, $\frac{8}{12}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ (здесь числитель и знаменатель разделили сначала на 2, а потом ещё на 2). Сокращение дроби можно провести тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если же числитель и знаменатель данной дроби взаимно просты, то дробь сократить нельзя, например, $\frac{4}{5}$ – несократимая дробь.

Справедливо следующее утверждение (его мы докажем ниже):

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Например, $\frac{3}{7}<\frac{5}{7}\mathrm{, }\frac{5}{8}<\frac{6}{8}\text{.}$ Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например, $\frac{1}{2}>\frac{1}{5}\mathrm{, }\frac{3}{8}<\frac{3}{4}\text{.}$ Чтобы сравнить две дроби с разными числителями и знаменателями, нужно преобразовать обе дроби так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю. Сравнение обыкновенных дробей Пусть, например, даны две дроби $\frac{3}{4}$  и  $\frac{5}{7}\text{.}$ Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, получим $\frac{3}{4}=\frac{21}{28}\text{.}$ Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 4, получим $\frac{5}{7}=\frac{20}{28}\text{.}$ Итак, две дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{7}$ приведены к общему знаменателю: $\frac{3}{4}=\frac{21}{28}\text{ и }\frac{5}{7}=\frac{20}{28}\text{.}$

Теперь знаменатели этих дробей одинаковы, значит, $\frac{21}{28}>\frac{20}{28}\text{.}$ Следовательно, $\frac{3}{4}>\frac{5}{7}\text{.}$ Ясно, что две дроби можно привести не к единственному общему знаменателю. Так, в нашем примере дроби $\frac{3}{4}$  и $\frac{5}{7}$ можно привести к знаменателю 56. В самом деле: $\frac{3}{4}=\frac{3ċ14}{4ċ14}=\frac{42}{56}\mathrm{, }\frac{5}{7}=\frac{5ċ8}{7ċ8}=\frac{40}{56}\text{.}$ Понятно, что эти две дроби можно привести к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 4 и 7. Однако обычно стараются привести дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному знаменателей двух данных дробей.

В рассмотренном примере числа 4 и 3 называют дополнительными множителями для первой и второй дроби соответственно.

Теперь мы можем определить арифметические действия с дробями.

Сложение. Если знаменатели дробей одинаковы, то чтобы сложить эти дроби, нужно сложить их числители; знаменатель остаётся прежним, то есть $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}\text{.}$ Если знаменатели данных дробей разные, то дроби нужно сначала привести к общему знаменателю, а потом поступить, как описано выше.

Вычитание. Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то $\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}\text{.}$ Если знаменатели данных дробей различны, то сперва приводят дроби к общему знаменателю, а потом вычитают их по вышеприведённой формуле.

Умножение. Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель равен произведению их знаменателей, то есть $\frac{a}{b}ċ\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\text{.}$ Например, $\frac{2}{3}ċ\frac{4}{7}=\frac{2ċ4}{3ċ7}=\frac{8}{21}\text{.}$

Деление. Деление дробей осуществляют следующим образом: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}\text{.}$ Например, $\frac{3}{5}:\frac{2}{7}=\frac{3ċ7}{5ċ2}=\frac{21}{10}\text{.}$

В случае умножения и деления смешанных чисел всегда удобно переходить к неправильным дробям.

Теперь можно показать, что любую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если дробь $\frac{m}{n}$ такова, что число m кратно n, например, $\frac{12}{3}=4$).

Всякую неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа (или в виде натурального числа). Понятно также, что верно и обратное: всякое смешанное число может быть представлено в виде неправильной дроби. Например, $4\frac{3}{5}=4+\frac{3}{5}=\frac{20}{5}+\frac{3}{5}=\frac{20+3}{5}=\frac{23}{5}\text{.}$