Учебник. Системы счисления

Система счисления – это совокупность приёмов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционной называется система счисления, в которой используется определённое число знаков для обозначения чисел, но значение каждого символа зависит от того, как этот символ расположен по отношению к другим символам в том же числе. Непозиционной называется система счисления, в которой используется определённое число знаков для обозначения чисел, но значение каждого символа не зависит от того, как этот символ расположен по отношению к другим символам в том же числе, и всегда одно и то же.

В процессе развития человеческой цивилизации люди использовали различные системы счисления, однако самой удобной для практических нужд оказалась десятичная система счисления. Разумеется, во многом это было связано с физиологическими особенностями человеческого тела; в самом деле, ведь у человека на руках десять пальцев. Конечно же, не нужно думать, что другие системы счисления совсем не используются. Например, для различных машинных вычислений необыкновенно эффективны вычисления в двоичной системе счисления. Познакомимся же с принципом записи числа в позиционной системе счисления.

В разное время арабские цифры выглядели по-разному

В частности, десятичная система счисления основана на представлении чисел в виде: $n=a_k{10}^k+a_{k-1}{10}^{k-1}+\text{...}+a_{1}10+a_0\mathrm{,}$ где a₀, a₁, ..., a_k – числа от 0 до 9, причём a_k ≠ 0. Если справедливо последнее соотношение, то число n записывают коротко так: $n={\mathrm{(}{a}_k{a}_{k-1}\text{...}{a}_0\mathrm{)}}_{10}$ или просто $n=\mathrm{(}{a}_k{a}_{k-1}\text{...}{a}_0\mathrm{)}=\stackrel{\¯}{a_k{a}_{k-1}\text{...}{a}_0}\mathrm{.}$ Две последние записи обозначают одно и тоже и применяются одинаково часто.

Для того, чтобы перевести число, записанное в q-ичной системе счисления, в десятичную систему счисления, нужно просто провести все вычисления в формуле (1). Для того, чтобы перевести число из десятичной системы счисления в q-ичную, можно попытаться представить его в виде (1).

Для того чтобы перевести число, записанное в десятичной системе, в любую q-ичную систему счисления, можно использовать следующее наблюдение. Перепишем формулу (1) в виде: $n=\mathrm{(}{a}_k{q}^{k-1}+a_{k-1}{q}^{k-2}+\text{...}+a_1\mathrm{)}q+a_0=n_{1}q+a_0\text{.}$ Отсюда следует, что $a_0$ есть остаток от деления числа n на q. Совершенно аналогично, $a_1$ есть остаток от деления числа $n_1=a_k{q}^{k-1}+a_{k-1}{q}^{k-2}+\text{...}+a_1$ на q. Понятно, что так можно найти все числа a_k.

Записать число 4784 в восьмеричной системе счисления.

Перевод числа 4784 в восьмеричную систему счисления

Ответ. $4784={\left(11260\right)}_8\mathrm{.}$