Учебник. Понятие натуральных чисел

Понятия «число» и «операция» не так просты, как это может показаться с первого взгляда. Почему, пользуясь одними и теми же числами, мы можем считать камушки и звезды? Это позволяет нам думать, что, сколько бы ни было объектов, мы всегда сможем их пересчитать, и операции сложения, умножения будут также применимы к ним. Подобные вопросы ставились и древними греками, и в наше время.

В этом курсе мы будем исходить из того, что умение считать и различать разные количества предметов – врожденные способности человека. Возьмем в руки камушки, как это делали пифагорейцы, будем прибавлять их по одному, называть последовательно каждое количество своим именем и таким «наглядным» способом определим сразу два основных для алгебры понятия – число и операцию увеличения на единицу. Повторяя эту процедуру и предполагая, что ничто не мешает нам делать это бесконечно, мы сможем определить сложение и умножение на бесконечном множестве натуральных чисел.

При сложении и умножении натуральных чисел снова получается натуральное число.

Пусть p и q – натуральные числа. Тогда:

• s = p + q – натуральное число, s – сумма, p и q – слагаемые;
• t = pq – натуральное число, t – произведение, p и q – сомножители.

Приведем без доказательства законы, которые впоследствии позволят определить операции сложения и умножения не только для чисел, но и для гораздо более сложных объектов, таких, как множества, функции, группы и так далее.

Сложение и умножение натуральных чисел обладают следующими свойствами:

1. a + b = b + a (переместительный закон сложения).
2. (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
3. ab = ba (переместительный закон умножения).
4. (ab)c = a(bc) (сочетательный закон умножения).
5. a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).

К сложению и умножению можно добавить обратные операции – вычитание и деление.

Если p, q и k – натуральные числа, то при натуральном k = p – q говорят, что

• p – уменьшаемое; q – вычитаемое; k – разность.

Если же натуральное k = p : q, то говорят, что

• p – делимое; q – делитель; k – частное.

При этом число p называется кратным числа q, а число q – делителем числа p. Другими словами, если число p кратно числу q, то существует такое число k, что k = p : q.

Вычитание и деление натуральных чисел, вообще говоря, не всегда приводит опять к натуральному числу: 15 – 3 = 12 – натуральное число, но 4 – 9 = –5 – не натуральное число. 25 : 5 = 5 – натуральное число, 22 : 7 – не натуральное число.

Увы, нам придется вводить ограничения на применимость новых операций, так как в некоторых случаях они выводят нас за рамки натуральных чисел, а другие числа мы еще не определили. Так что будем пока считать, что нельзя вычитать большее из меньшего, и делить на число, которое не укладывается нацело в делимом. Но с этими ограничениями мы можем уже записывать числовые выражения.

Для того, чтобы определить порядок действий в выражении, введем еще один, парный, знак – скобки.

Приоритет арифметических операций в числовом выражении следующий: вначале выполняются действия в скобках; внутри скобок вначале выполняют умножение и деление, после чего сложение и вычитание.

Еще один простой вопрос – можем ли мы наше множество упорядочить? Существует ли последовательность действий, выполнив которую, мы можем перечислить все элементы множества? Это было бы равнозначно введению какого-то однозначного отношения между элементами. Самым простым упорядочивающим отношением служит понятие «больше», и, чтобы ввести его, расположим натуральные числа на числовой прямой.

Координатная прямая

Нарисуем горизонтальную прямую x, выберем на ней точку O и назовём её началом отсчёта, выберем на этой прямой направление (обычно слева направо) и единичный отрезок (то есть отрезок, длина которого по определению равна 1) (см. рисунок). Говорят, что задана координатная прямая. Каждому натуральному числу можно поставить в соответствие одну и только одну точку. Именно, если, например, задано число 5, отложим от точки O вправо выбранный единичный отрезок 5 раз. Точно так же можно поступить с любым натуральным числом. Если некоторая точка A соответствует некоторому числу a, то говорят, что число a является координатой точки A. В этом случае пишут A (a).

• Говорят, что натуральное число a меньше другого натурального числа b, и записывают этот факт так: a < b, если точка на числовой оси, отвечающая числу a, лежит левее точки, отвечающей числу b.

• Говорят, что натуральное число a больше другого натурального числа b, и записывают этот факт так: a > b, если точка на числовой оси, отвечающая числу a, лежит правее точки, отвечающей числу b.

Ясно, что число 0 (нуль) – координата точки O – меньше любого натурального числа.

Для любых двух натуральных различных чисел a и b справедливо одно и только одно утверждение: a < b, a > b или a = b. Знаки < и > называются знаками строгих неравенств, знаки ≤ и ≥ – знаками нестрогих неравенств. Запись a ≤ b означает, что верно одно из двух утверждений: либо a < b, либо a = b. Неравенства a < b и c < d называют неравенствами одного знака; неравенства a < b и c > d называют неравенствами разных знаков.