Глава 7. Объемы и поверхности круглых тел

Модель 7.4.  Сфера и ее элементы

Множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R от данной точки O, называется сферой. Можно определить сферу и как тело, образованное при вращении окружности вокруг своего диаметра. В этом случае прямая, вокруг которой вращается окружность, называется осью сферы, а точки пересечения оси с поверхностью сферы – полюсами сферы.

Множество всех точек пространства, удаленных от данной точки O на расстояние, не большее R, называется шаром. Иными словами шар – это объединение сферы и всех ее внутренних точек.

Точка O называется центром сферы (шара). Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы (шара). Отрезок, соединяющий любые две точки сферы, называется хордой сферы. Иногда под радиусом или хордой подразумевают их длину. Хорда, проходящая через центр сферы, называется ее диаметром.

Площадь боковой поверхности сферы определяется по формуле S_б = 4πR². Объем сферы равен где R – радиус сферы.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью. Высотой шарового сегмента H называется отрезок, соединяющий полюс шара с центром основания шарового сегмента. Шаровой сегмент можно рассматривать как тело, образованное вращением кругового сегмента вокруг диаметра, перпендикулярного его хорде.

Объем шарового сегмента равен

Шаровым сектором называется тело, образованное вращением кругового сектора вокруг оси, содержащей один из его граничных радиусов.

Объем шарового сектора равен

Площадь сферической части поверхности сектора либо сегмента равна S = 2πRH.

Изменить радиус шара можно, потащив мышью за любую его точку. Перемещая мышью секущую плоскость, можно изменить шаровые сектор и сегмент (секущая плоскость видна, если установлен флажок хотя бы на одном из выключателей). Численные значения объема и площади сферической поверхности этих тел показываются в окне вывода, если включены выключатели Шаровой сектор и Шаровой сегмент соответственно.

Переключившись в демонстрационный режим при помощи кнопки со значком кинопроектора, можно просмотреть анимацию. Кнопка Старт запускает ее, кнопка Стоп – приостанавливает, а кнопка Сброс возвращает анимацию в исходное состояние. Кнопка со значком руки переводит модель обратно в интерактивный режим.