Доказать, что множество точек M плоскости таких, что модуль разности растояний от них до двух данных точек A и B постоянна и равда 2a, является гиперболой с фокусами A и B.
Решение
Выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы ось Ox совпала с прямой AB, а начало координат O с серединой отрезка AB (см. рис). Пусть M (x, y) такая точка плоскости, которая удовлетворяет условию задчи т. е.
Запишем это равенство через координаты точек A, B и M. Пусть координаты A – (–c, 0), координаты B – (c, 0), где c > 0. Тогда (см. рис)
и
Перенесем второй член левой части вправо и возведем обе части в квадрат:
или
Возведя еще раз обе части в квадрат получим:
откуда
Имея ввиду, что c > a > 0 обозначим
и получим
или
Это и есть уравнение гиперболы в канонической системе координат. Тогда в силу выбора точки A и B являются фокусами данной гиперболы.
Задачи с решениями
и получим 
или 
Это и есть уравнение гиперболы в канонической системе координат. Тогда в силу выбора точки 
20 из 24
