Пусть l – произвольная прямая на плоскости Oxy. Проведем какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой l, и отложим на ней от точки пересечения C с прямой l равные отрезки CA₁ и CA₂.

Пусть a₁ и b₁ – координаты точки A₁, и a₂ и b₂ – координаты точки A₂. Как известно, любая точка A (x; y) прямой l равноудалена от точек A₁ и A₂. Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению (x – a₁)² + (y – b₁)² = (x – a₂)² + (y – b₂)². Верно и обратное: если координаты x и y какой-либо точки удовлетворяют данному уравнению, то эта точка равноудалена от точек A₁ и A₂, а значит, принадлежит прямой l. Таким образом, уравнение является уравнением прямой l. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

x2 – 2a1x + a12 + y2 – 2b1y + b12 – x2 + 2a2x – a22 – y2 + 2b2y – b22 = 0

или

2(a2 – a1)x + 2(b2 – b1)y + a12 + b12 – a22 – b22 = 0.

Обозначая 2(a₂ – a₁) = a; 2(b₂ – b₁) = b; a₁² + b₁² – a₂² – b₂² = c, имеем ax + by + c = 0. Теорема доказана.

Замечание. Если a = b = 0, то уравнение ax + by + c = 0 имеет вид c = 0. При этом любая точка плоскости удовлетворяет исходному уравнению, а если a = b = 0, а c ≠ 0, то ни одна точка плоскости Oxy не удовлетворяет данному уравнению. Следовательно, исходное уравнение есть уравнение прямой тогда и только тогда, когда a² + b² > 0.