Задачи

Так как указанные в условии задачи числа являются длинами сторон треугольника, то все они положительны и удовлетворяют неравенству треугольника: Положительность всех трех чисел приводит к тому, что нас интересуют только точки из первой координатной четверти, лежащие под прямой y = 2x. Система же неравенств эквивалентна системе Таким образом, фигурой Ф являются точки первой координатной четверти, лежащие между прямыми y = x и

Неравенство верно при любых t тогда и только тогда, когда или Соответственно, интересующие нас точки фигуры Ф лежат над параболой

Указанная парабола пересекается с прямой в точках O (0; 0) и A (3; 5), а с прямой y = x в точках O (0; 0) и C Таким образом, площадь фигуры Ψ равна S = S₁ – S₂ – S₃, где S₁ – площадь прямоугольного треугольника OAB, S₂ – площадь прямоугольного треугольника OCD, S₃ – площадь криволинейной трапеции ACDBE. Подставляя численные значения, получаем   Площадь трапеции легко найти интегрированием:

Таким образом,