Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.4. Определенный интеграл

3.4.2. Свойства определенного интеграла

Доопределим понятие интеграла при a ≥ b следующими равенствами:

Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

• Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке
• Для любых a, b и c
  
• Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A
  
  
• Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке.
• Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a
  

Модель 3.10. Свойства определенного интеграла

Для определенных интегралов верны также следующие оценки (предполагается, что функции f и g интегрируемы на [a; b]).

• Если f (x) ≥ g (x), то
  В частности, если f (x) ≥ 0, то
  
• Если f (x) ≥ 0 для любого  и существует такое, что  причем f (x) непрерывна в  то
• |f (x)| интегрируема на [a; b], причем
  
• Если на отрезке [a; b]  m ≤ f (x) ≤ M, то
  

1

Рисунок 3.4.2.1. Численное вычисление определенного интеграла при помощи формулы трапеций

Для вычисления определенных интегралов на компьютере нередко используют приближенную формулу трапеций:

Ее смысл состоит в том, что криволинейные трапеции заменяются обычными, площадь каждой из которых равна