Глава 2. Элементарные функции и их графики

2.1. Линейная функция

2.1.3. Уравнение прямой

График 2.1.3.1. График прямой x = 3.

Прямую можно задать различными способами. Уравнение

y = kx + b

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. Любая прямая, не перпендикулярная оси OX, может быть определена этим уравнением. Прямая же, перпендикулярная оси абсцисс, задается уравнением x = x₀. Отметим, что вертикальная прямая не является графиком функции.

Итак, уравнением y = kx + b можно описать не любую прямую. Этого недостатка нет у так называемого общего уравнения прямой

a x + b y = c      (a2 + b2 ≠ 0).

Если b = 0, то – получаем уравнение вертикальной прямой. Если же b ≠ 0, то Таким образом, угловой коэффициент прямой в этой системе обозначений задается как

График 2.1.3.2. Угловой коэффициент прямой k = arctg α.

Зафиксируем на графике линейной функции точку A (x₀; y₀). Пусть B (x; y) – произвольная точка графика. Из треугольника ABC легко увидеть, что Уравнение

y = y0 + k (x – x0)

называется уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку.

Зафиксируем теперь на графике линейной функции две точки: A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂). Из треугольника ABC следует, что Таким образом, уравнение задает прямую, проходящую через две заданные точки.

График 2.1.3.3. Уравнение прямой в отрезках на осях

Вернемся теперь снова к общему уравнению прямой a x + b y = c, где a · b · c ≠ 0. Его можно преобразовать к виду Это уравнение пересекает координатные оси в точках (p; 0) и (0; q).   в чем легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнение прямой. Полученное уравнение называется уравнением прямой в отрезках:

Модель 2.3. Способы построения прямой