Пусть x – число способов, которым можно представить натуральное число n в виде суммы k натуральных слагаемых, а y – число способов, которым можно представить это же натуральное число в виде суммы k целых неотрицательных слагаемых. Представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными. Найдите x/y для n = 10, k = 5.
Решение.
Представим натуральное число n в виде суммы n единиц. Разместим эти единицы в ряд и расставим между единицами k – 1 символов «|», например, 1 | 1 1 1 | 1 1 | 1 1 1 | 1. Тогда количество единиц, расположенных между соседними символами «|», равно очередному натуральному слагаемому
а количество таких слагаемых равно k. Очевидно, что
В нашем примере представлено разложение 10 = 1 + 3 + 2 + 3 + 1. Количество способов расставить (k – 1) символов «|» на (n – 1) мест (между n единицами)
как раз равно числу x.
Для нахождения y найдём количество различных рядов, состоящих из n единиц и (k – 1) символов «|» (например, 1 | 1 1 1 | 1 1 1 1 1 | | 1). Общее количество символов равно (n + k – 1), откуда
Задачи
7 из 8
а количество таких слагаемых равно 
В нашем примере представлено разложение 
как раз равно числу 
