Понятие множества − одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какое-либо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т. д. Элементы множества − это то, из чего это множество состоит, например, каждый ученик вашего класса есть элемент множества школьников. Множества обычно обозначают большими буквами: A, B, C, N, ..., а элементы этих множеств − аналогичными маленькими буквами: a, b, c, n, ... Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,
− множество целых чисел;
− множество рациональных чисел;
− множество иррациональных чисел;
− множество действительных чисел;
− множество комплексных чисел.
Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут: aA.
Множество считается заданным, если для любого объекта можно определить, принадлежит ли этот объект множеству или нет.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается
Если A есть пустое множество, то пишут: A =
Если любой элемент множества A является элементом другого множества B, то говорят, что A есть подмножество множества B, и пишут: AB.
Например, множество всех натуральных чисел
является подмножеством всех действительных чисел
Из определения непосредственно следует, что AA, то есть всякое множество является подмножеством самого себя.
Если AB, а BA, то пишут A = B и говорят, что множества A и B равны.
В математике часто приходится иметь дело с числовыми множествами. Приведём определения и обозначения множеств, которые имеют общее название числовых промежутков.
Название промежутка
Определение
Обозначение
Отрезок от a до b (замкнутое множество)
a ≤ x ≤ b
[a; b]
Интервал от a до b (открытое множество)
a < x < b
(a; b)
Открытый слева промежуток от a до b
a < x ≤ b
(a; b]
Открытый справа промежуток от a до b
a ≤ x < b
[a; b)
Закрытый числовой луч от a до +∞
x ≥ a
[a; +∞)
Открытый числовой луч от a до +∞
x > a
(a; +∞)
Закрытый числовой луч от −∞ до a
x ≤ a
(−∞; a]
Открытый числовой луч от −∞ до a
x < a
(−∞; a)
Числовая прямая
−∞ < x < +∞
Таблица 4.1.1.1
Пример 1
Задайте перечислением множество B = {x: x2 − 2x + 1 = 0}. Это стандартная запись для задания множества, читается она так: множество элементов x таких, что x2 − 2x + 1 = 0.