Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.1.

3.1.1.

	Уравнением с одной переменной x называется выражение f (x) = g (x), (1) содержащее переменную величину x и знак равенства.

Число a называется корнем (или решением) уравнения (1), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство.

Замечание. Важно понимать, что решение – это ЧИСЛО, например, 15 или поэтому ответ при решении уравнения должен содержать именно числа, а не выражения, уравнения и т. п.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнения f (x) = g (x) и f₁ (x) = g₁ (x) называются равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот, или если оба эти уравнения не имеют решений. Проще говоря, уравнения равносильны, если они имеют одно и то же множество корней.

Тот факт, что уравнения f (x) = g (x) и f₁ (x) = g₁ (x) равносильны, записывается так:
здесь – знак равносильности.

Ясно, что уравнение f₁ (x) = g₁ (x) может оказаться проще уравнения f (x) = g (x), а так как оно имеет те же корни, что и исходное уравнение (1), то его и нужно решать.

Возникает вопрос: как от уравнения (1) перейти к более простому (но равносильному ему!) уравнению f₁ (x) = g₁ (x)? Сформулируем несколько правил преобразования уравнений.

Правило 1. Если выражение φ (x) определено при всех x, при которых определены выражения f (x) и g (x), то уравнения f (x) = g (x) и f (x) + φ (x) = g (x) + φ (x) равносильны. В частности,
Здесь φ (x) = –g (x). То есть любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, не нарушая равносильности.

Правило 2. Если выражение φ (x) определено при всех x, при которых определены выражения f (x) и g (x), то любое решение уравнения f (x) = g (x) является решением уравнения

В этом случае говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1) и записывают это так:

Естественно, уравнение (2) имеет больше корней, чем уравнение (1), например, его корнями будут ещё и корни уравнения φ (x) = 0.

Таким образом, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение может привести к появлению посторонних корней.

Если же φ (x) таково, что φ (x) ≠ 0 для тех x, для которых определены функции f (x) и g (x), то
Это значит, что для сохранения равносильности умножать обе части уравнения можно лишь на отличное от нуля выражение.

Правило 3. Каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (f (x))ⁿ = (g (x))ⁿ при любом натуральном n, то есть

(3)

При этом, если n нечётно (n = 2k + 1), то можно поставить знак равносильности:

Для чётных n справедливо только (3).

Правило 4. Каждое решение уравнения f (x) · g (x) = 0 является решением, по крайней мере, одного из уравнений:

f (x) = 0 или g (x) = 0.

(4)

Другими словами, из уравнения f (x) · g (x) = 0 следует, что либо f (x) = 0, либо g (x) = 0:

Обратное, вообще говоря, неверно, что показывает следующий пример.

Пример 4

Рассмотрим уравнение

Здесь и Корнями исходного уравнения являются числа 0 и 2. Число 3 не является его корнем, поскольку при x = 3 подкоренное выражение отрицательно. Интересно, что при этом x = 3, тем не менее, является корнем функции g (x). А это как раз обозначает, что решениями совокупности являются числа 0, 2 и 3. Как видно, в самом деле, совокупность имеет больше решений, чем уравнение f (x) · g (x) = 0, то есть равносильности нет. Верным будет такое соотношение равносильности:

В нашем примере условие того, что функция f (x) должна быть определена, приводит к выводу, что x = 3 – не решение, как и должно быть.

Замечание. Вспомним, что квадратная скобка [ обозначает операцию «или», то есть то, что верно хотя бы одно из выражений, объединенных скобкой. Фигурной же скобкой { обозначается операция «и», то есть выражения, объединенные знаком скобки, верны одновременно.

Из этих четырёх правил следует, что с помощью стандартных приёмов и методов решения уравнений, а именно:

• преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение уравнения в нечетную натуральную степень и т. д.),
• разложения на множители (формально этот приём относится к преобразованиям, но, так как он довольно часто встречается самостоятельно, мы его выделяем особо),
• введения вспомогательных неизвестных,

уравнение (1) может быть сведено к более простому и, самое главное, равносильному уравнению f₁ (x) = g₁ (x).