Учебник. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно: $y^{\left(n\right)}+a_1\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\mathrm{...}+a_n\left(x\right)y=f\left(x\right)\mathrm{.}$

Если f (x) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным.

Принцип суперпозиции. Если $y_1$ и $y_2$ – решения однородного уравнения $y^{\left(n\right)}+a_1\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\mathrm{...}+a_n\left(x\right)y=0\mathrm{,}$ то y (x) = α₁ y₁ (x) + α₂ y₂ (x) при любых постоянных α₁ и α₂ является решением однородного уравнения.

Если $y_1$ и $y_2$ – решения неоднородного уравнения $y^{\left(n\right)}+a_1\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\mathrm{...}+a_n\left(x\right)y=f\left(x\right)\mathrm{,}$ то их разность y (x) = y₁ (x) – y₂ (x) есть решение однородного уравнения $y^{\left(n\right)}+a_1\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\mathrm{...}+a_n\left(x\right)y=0\mathrm{.}$

Всякое решение неоднородного уравнения $y^{\left(n\right)}+a_1\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\mathrm{...}+a_n\left(x\right)y=f\left(x\right)$ есть сумма частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения $y^{\left(n\right)}+a_1\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\mathrm{...}+a_n\left(x\right)y=0\mathrm{.}$

Уравнение вида $y^{\left(n\right)}+a_1{y}^{\left(n-1\right)}+\mathrm{...}+a_{n}y=f\left(x\right)\mathrm{,}$ где a₁, …, a_n – некоторые постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Всякое решение однородного уравнения первого порядка $y^{\mathrm{\prime }}-\lambda y=0$ имеет вид $y=C{e}^{\lambda x}\mathrm{,}$ где C – постоянная.

Уравнение вида $y^{\mathrm{\prime }}-\lambda y=P_m\left(x\right)e^{\mu x}\mathrm{,}$ где P_m (x) – многочлен степени m, μ – постоянная, имеет частное решение вида $y=Q_m\left(x\right)e^{\mu x}\mathrm{,}$ если μ ≠ λ, и вида $y=x{Q}_m\left(x\right)e^{\mu x}\mathrm{,}$ если μ = λ. Здесь Q_m (x) – многочлен степени m.

В общем случае у однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами $y^{\left(n\right)}+a_1{y}^{\left(n-1\right)}+\mathrm{...}+a_{n}y=0$ имеется так называемое характеристическое уравнение ${\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\mathrm{...}+a_n=0\mathrm{.}$ Корни этого уравнения – характеристические числа – являются показателями степеней слагаемых, входящих в решение. Если среди корней уравнения ${\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\mathrm{...}+a_n=0\mathrm{}$ нет кратных, то решением однородного уравнения является функция вида $f\left(x\right)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}+\mathrm{...}+C_n{e}^{{\lambda }_{n}x}\mathrm{,}$ где все $C_i$ – некоторые константы, зависящие от начальных условий. Количество слагаемых в этой функции совпадает со степенью дифференциального уравнения. Если же, скажем, ${\lambda }_i$ – корень характеристического уравнения кратности m, то соответствующее слагаемое принимает вид $\left(C_{i0}+C_{i1}x+\mathrm{...}+C_{i\mathrm{,}m-1}{x}^{m-1}\right)e^{{\lambda }_{i}x}\mathrm{,}$ а общее количество слагаемых, входящих в решение однородного дифференциального уравнения уменьшается на m – 1.

Уравнение $\stackrel{ċċ}{x}+{\omega }^{2}x=0\mathrm{,}$ где ω > 0, называется уравнением гармонических колебаний. Его нетривиальным решением является функция вида x (t) = C₁ cos ωt + C₂ sin ωt, где C₁, C₂ – постоянные. Эту функцию можно представить в виде x (t) = A cos (ωt – φ), где $A=\sqrt{C_1^2+C_2^2}\mathrm{,}$   $cos\phi =\frac{C_1}{A}\mathrm{,}$ $sin\phi =\frac{C_2}{A}\mathrm{.}$

Уравнение $\stackrel{ċċ}{x}+2a\dot{x}+{\omega }^{2}x=0$ сводится к трем случаям:

• a² < ω²: $x=A{e}^{\mathrm{-}at}cos\left(\omega t-\phi \right)\mathrm{.}$ Эта функция не периодическая, но ее максимумы и минимумы повторяются с периодом T = 2π/ω. Величина A e^–at называется амплитудой затухающих колебаний. Заметим, что она существенно зависит от времени.
• a² > ω²: $x\left(t\right)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}t}\mathrm{,}$ где λ₁ и λ₂ – постоянные: ${\lambda }_{\mathrm{1,2}}=\mathrm{-}a\pm \sqrt{a^2-{\omega }^2}\mathrm{.}$ Функция x(t) – непериодична, это – апериодический процесс.
• a² = ω²: $x\left(t\right)=\left(C_1+C_{2}t\right)e^{\mathrm{-}at}\mathrm{.}$ Это – также апериодический процесс.