Учебник. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами




Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно: y n + a 1 x y n-1 +...+ a n x y=f x .

Если f (x) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным.

Принцип суперпозиции. Если y 1 ( x ) и y 2 ( x ) – решения однородного уравнения y n + a 1 x y n-1 +...+ a n x y=0 , то y (x) = α1 y1 (x) + α2 y2 (x) при любых постоянных α1 и α2 является решением однородного уравнения.

Если y 1 ( x ) и y 2 ( x ) – решения неоднородного уравнения y n + a 1 x y n-1 +...+ a n x y=f x , то их разность y (x) = y1 (x) – y2 (x) есть решение однородного уравнения y n + a 1 x y n-1 +...+ a n x y=0 .

Всякое решение неоднородного уравнения y n + a 1 x y n-1 +...+ a n x y=f x есть сумма частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения y n + a 1 x y n-1 +...+ a n x y=0 .

Уравнение вида y n + a 1 y n-1 +...+ a n y=f x , где a1, …, an – некоторые постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Всякое решение однородного уравнения первого порядка y -λy=0 имеет вид y=C e λx , где C – постоянная.

Уравнение вида y -λy= P m x e μx , где Pm (x) – многочлен степени m, μ – постоянная, имеет частное решение вида y= Q m x e μx , если μ ≠ λ, и вида y=x Q m x e μx , если μ = λ. Здесь Qm (x) – многочлен степени m.

В общем случае у однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами y n + a 1 y n-1 +...+ a n y=0 имеется так называемое характеристическое уравнение λ n + a 1 λ n-1 +...+ a n =0 . Корни этого уравнения – характеристические числа – являются показателями степеней слагаемых, входящих в решение. Если среди корней уравнения λ n + a 1 λ n-1 +...+ a n =0 нет кратных, то решением однородного уравнения является функция вида f x = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x +...+ C n e λ n x , где все C i – некоторые константы, зависящие от начальных условий. Количество слагаемых в этой функции совпадает со степенью дифференциального уравнения. Если же, скажем, λ i – корень характеристического уравнения кратности m, то соответствующее слагаемое принимает вид ( C i0 + C i1 x+...+ C i,m-1 x m-1 ) e λ i x , а общее количество слагаемых, входящих в решение однородного дифференциального уравнения уменьшается на m – 1.

Уравнение x ċċ + ω 2 x=0 , где ω > 0, называется уравнением гармонических колебаний. Его нетривиальным решением является функция вида x (t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt, где C1, C2 – постоянные. Эту функцию можно представить в виде x (t) = A cos (ωt – φ), где A= C 1 2 + C 2 2 ,   cosφ= C 1 A , sinφ= C 2 A .

Уравнение x ċċ +2a x ˙ + ω 2 x=0 сводится к трем случаям:

  • a2 < ω2: x=A e -at cos ωt-φ . Эта функция не периодическая, но ее максимумы и минимумы повторяются с периодом T = 2π/ω. Величина A e–at называется амплитудой затухающих колебаний. Заметим, что она существенно зависит от времени.
  • a2 > ω2: x t = C 1 e λ 1 t + C 2 e λ 2 t , где λ1 и λ2 – постоянные: λ 1,2 =-a± a 2 - ω 2 . Функция x(t) – непериодична, это – апериодический процесс.
  • a2 = ω2: x t = C 1 + C 2 t e -at . Это – также апериодический процесс.




 

© Физикон, 1999-2015