Учебник. Дифференциальные уравнения первого порядка




Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида f x y  y =0 называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Рассмотрим способы решения некоторых его типов.

Для уравнений вида dy dx =f x y с заданными граничными условиями доказана теорема существования и единственности.

Пусть в области D плоскости (x, y) функция f (x, y) и ее частная производная f x y y непрерывны. Тогда через каждую точку (x0; y0) этой области проходит одна и только одна интегральная кривая.

1. Автономное уравнение

dy dx =f x

Домножим обе части уравнения на dx и проинтегрируем обе части получившегося уравнения: dy = f x dx . Таким образом, y= f x dx  + C .

2. Уравнение с разделяющимися переменными dy dx =f x g y .

Это уравнение сводится к системе { dy g  ( y ) =f  ( x ) dx g  ( y ) 0 ; y=const g  ( y ) =0. В первом уравнении после интегрирования находим y как неявную функцию от x: dy g y = f x dx .

3. Однородное уравнение dy dx =f y x .

Пусть z= y x . Тогда y = zx и dy dx =x dz dx +z и dz dx = f z -z x .

Задача сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными, где F(x) = f(x) – z, g(x)= 1 x .

4. Линейное однородное уравнение dy dx =a x y является уравнением с разделяющимися переменными и интегрируется по частям: dy y = a x dx , откуда y x =Cexp a x dx .

Линейные дифференциальные уравнения

5. Линейное уравнение dy dx =a x y+b x .

Будем искать решение этого уравнения в виде y x =C x exp a x dx , где C (x) – неизвестная функция. Тогда dC dx =b x exp - a x dx . Вычисляя отсюда C (x) и подставляя эту функцию в предыдущее равенство, находим решение y (x).





 

Ущерб деловой репутации
Деловая газета
socexpertiza.ru
© Физикон, 1999-2015