Учебник. Несобственные интегралы




Несобственные интегралы

Определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.

Пусть f (x) определена при x ≥ a и интегрируема на отрезке [a; ξ], где ξ ≥ a. Если существует конечный предел lim ξ+ a ξ f x dx , то говорят, что функция f интегрируема в несобственном смысле на промежутке [a; +∞), а несобственный интеграл a + f x dx сходится: a + f x dx = lim ξ+ a ξ f x dx .

Если a ξ f x dx не имеет конечного предела при ξ → +∞, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл - a f x dx .

Так, интеграл - + 1 1+ x 2 dx сходится и равен J= lim ξ- ξ 0 1 1+ x 2 dx + lim ξ+ 0 ξ 1 1+ x 2 dx =- lim ξ- arctgx+ lim ξ+ arctgx=π . Этот ответ можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью OX.

Пусть функция f (x) определена на конечном промежутке [a; b) и интегрируема на отрезке [a; ξ] при любом ξ[ a b ) . Если существует конечный предел lim ξb-0 a ξ f x dx , то говорят, что несобственный интеграл от функции f (x) на промежутке [a; b) сходится: a b f x dx = lim ξb-0 a ξ f x dx .

Если a ξ f x dx не имеет конечного предела при ξ → b, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл для функции, определенной на (a; b].

Если функция f определена на отрезке [a; b] за исключением точки c[ a b ] и интегрируема на отрезках [a; ξ] и [η; b] при любых ξ и η таких, что a ≤ ξ < c < η ≤ b, то несобственный интеграл от функции f на промежутке [a; b] обозначается a b f x dx и равен a b f x dx = lim ξc-0 a ξ f x dx + lim ηc+0 η b f x dx .

В дальнейшем без ограничения общности будем предполагать, что функция f определена на [a; b), где a – конечная точка, b – конечная точка либо +∞, и функция f интегрируема на [a; ξ] при любом ξ[ a b ) . В этих предположениях несобственные интегралы обладают следующими свойствами:

  • линейность несобственного интеграла: a b f x +g x dx = a b f x dx + a b g x dx , a b Af x dx =A a b f x dx ;
  • формула Ньютона – Лейбница: если существует конечный предел lim ξb-0 F ξ =F b-0 , то a b f x dx =F b-0 -F a .




 

Рлк 10
Продаем разъединители РЛК, РЛНД. В наличии. Низкие цены. Доставка в регионы
en-komplekt.ru
© Физикон, 1999-2015